欧拉函数及其性质

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定义

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）。此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler’s totient function)，它又称为Euler’s totient function、φ函数、欧拉商数等。

函数式

$$\varphi(x) = x \prod_{i=1}^n(1- \frac{1}{p_i})$$
其中 $p_i$为 $x$的质因数 $(x>0)$
$\varphi(x)$为 $1\to x$与x互质数的个数

性质

1. 对于任意一个质数 $p$ ,$\varphi(n)=n-1$

因为$n$为质数,与他互质的个数就是 n-1

2. 当 $gcd(n,m)=1$时,$\varphi(nm)=\varphi(n)\varphi(m)$

因为$\varphi(n)$是积性函数。 积性函数指对于所有互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。

3. 若 $n=p^k$ 其中p为质数,则$\varphi(n)=p^k-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}$

$1 \to n$中除了p的倍数，都与$p^k$互质,$1 \to n$中$p$倍数的个数为 $p^k \div p=p^{k-1}$

4. $n= p_1^{k_1}p_2^{k_2} \dots p_{m-1}^{k_{m-1}}p_m^{k_m}$ 其中 $p_m^{k_m}$ 为$n$所分解的质因数($k_m$为每个质因数的个数) ，则 $$\varphi(n) = n \prod_{i=1}^m(1- \frac{1}{p_i})$$

由性质3可得

$$\varphi(n)=\prod_{i=1}^{n}(p_i-1)p_i^{k_i-1}(p_i|n)=(p_1^{k_1}p_2^{k_2}p_3^{k_3} \dots p_m^{k_m}) \prod_{i=1}^m(1-\frac {1}{p_i})=n \prod_{i=1}^m(1- \frac{1}{p_i})$$

5. 所有小于$n$与$n$互质个数的和$sum=n \times \frac{\varphi(n)}{2}$

首先证明 $gcd(n,i)=1$,则$gcd(n,n-i)=1$
利用反证法:
设存在$gcd(n,i)=1, gcd(n,n-i)=k$,那么可得$(n-i)\%k=0,n \% k=0$,所以$i\%k=0$,即$gcd(n,i)=k$
与假设矛盾，所以 $gcd(n,i)=1$,则$gcd(n,n-i)=1$成立
由这个式子可得每个与$n$互质的数都是成对的,因为$gcd(n,i)=gcd(n,n-i)=1$ ,$i$ 和$(n-i)$成对,这样就可证明5性质

6. 如果 $i$ mod $p$=0,其中$p$为质数,则 $\varphi(i*p)=p*\varphi(i)$,否则$\varphi(i*p)=(p-1)\varphi(i)$

对于前半部分,我们只需证明 如果$gcd(i,n)=1$则 $gcd(i,n+i)=1$
同上反证法:
设 $gcd(i,n)=1,gcd(i,n+i)=k$
设$n+i= ka_1,i=ka_2$,则$ka_2+n=ka_1,n=(a_1-a_2)k$,所以$gcd(i,n)>=k$,与假设矛盾,$gcd(i,n)=1$,则$gcd(i,n+i)=1$成立

有了上面那个式子就好证明了,因为 p为质数,所以与$i*p$互质的数也就是$1 \to (i*p)$与$i$互质的数的个数,这样就可以用上面那个定理了,设$n$是小于$i$且与$i$互质的数,则$gcd(i,n)=1$则$gcd(i,n+i)=gcd(i,n+2i)=gcd(i,n+3i)= \dots =gcd(i,n+(p-1)i)$也就是原来的$p$陪

后半部分更好证明,$i$与$p$互质,那就是性质2

7. $n= \sum_{d|n}\varphi(d)$ $(d|n)$指n是d的倍数

正规的推导看不懂,在搜了很多博客后看到了一种简单的证明方法

$$\frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},\frac{4}{n}, \dots,\frac{n}{n}$$
一共n个分数,把所有数化简到最简分数，则每个分母都是n的因子,也就是说n 是所有分母的倍数,每个分母存在的数量就是 $\varphi(i)$所有 $\varphi(i)$的和也就是所有数的个数 $n$

8. 欧拉定理:对于互质的整数a,m,有 $a^{\varphi(m)} \equiv 1$ (mod m)。

证明
设小于$n$且与$n$互质的集合$Z$, 则$|Z|=\varphi(n)，Z=\{q_1,q_2,q_3 \dots q_m\}$
设集合 $Y=\{a*p_1 \ mod\ m,a*p_2\ mod \ m \dots \ a*p_{\varphi(m}\}$

我们只需证明 $Y=Z$即可
因为 $a$与$n$互质,$p_i$与$n$互质,所以 $a*p_i$与$n$互质，所以 $a*p_i\ mod \ n \in Z$
若 $i\ != \ j$那么 $a*p_i\ mod \ n\ !=\ a*p_j\ mod \ n$
一如既往的反证法:
设 $a*p_i\ mod \ n\ =\ a*p_j\ mod \ n$, $a*p_i=k_i*n+b$,那么

$$a*p_i-a*p_j=k_i*n+b-k_j*n-b \text 化简得 a(p_i-p_j)=n(k_i-k_j) \ 进而得 n= \frac{p_i-p_j}{k_i-k_j}a$$ ,这与 $a\ n$互质矛盾,所以 $i\ != \ j$那么 $a*p_i\ mod \ n\ !=\ a*p_j\ mod \ n$成立
因此我们可得 $Z=Y$
所以我们可以列出 $$a*p_1*a*p_2 *\dots *a*p_{\varphi(n)}\equiv p_1*p_2* \dots * p_{\varphi(n)}(\ mod \ n) \to a^{\varphi(n)}\equiv1\ (\ mod\ n)$$
费马小定理就是他的一种情况 $a \text 与 p$互质时 $a^{p-1}\equiv 1\ (\ mod \ p)$，这时候 $\varphi(p)=p-1$带进去这个性质便可得

欧拉函数求法

应用

欧拉筛质数

板子 线性筛法中的p[]就是

欧拉降幂

公式
$A^k\equiv A^{k\%\varphi(m)} (mod \ m) \quad gcd(A,m)=1$
$A^k\equiv A^k(mod \ m) \quad gcd(A,m )!=1,k<\varphi(m)$
$A^k\equiv A^{k\%\varphi(m)+\varphi(m)} (mod \ m) \quad gcd(A,m)!=1,k>\varphi(m)$
证明见:https://blog.csdn.net/weixin_38686780/article/details/81272848
看不懂,只好背公式,数学还是太垃圾了

板子
$O(n)$,线性筛法

int p[maxn];
bool  vis[maxn];
ll phi[maxn];
int cnt=0;
ll get_phi(int len=maxn){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<len;i++){
        if(!vis[i]){
            p[cnt++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }       
        for(int j=0;j<cnt;j++){
            if(p[j]*i>=len) break;
            vis[p[j]*i]=1;
            if(i%p[j]==0){
                phi[i*p[j]]=p[j]*phi[i];
                break;  
            }
            phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);

        }
    }

}

$O(\sqrt{n})$，适合求单点

ll get_phi(ll  x){
    ll res=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
    {
        if(x%i==0){
            res=res-res/i;
            while(x%i==0) x/=i;
        }       
    }
    if(x!=1) res=res-res/x;
    return res;
}

练习

BZOJ 3884 上帝与集合的正确用法 ($O(\sqrt{n})$板子) 题解