欧拉函数及部分性质

欧拉函数：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。

通式：φ(x)=x*(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)*(1-1/p4)……(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数。φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。

欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有aφ(n) ≡ 1 mod n。

性质：
1.对于质数p，φ（p) = p - 1。注意φ(1)=1.
2.欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。
3.若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
4.特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)

欧拉函数还有这样的性质：

1.设a为N的质因数，若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 则有E(N)=E(N / a) * a；若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 则有：E(N) = E(N / a) * (a - 1)。
2.有k使得φ(k)的值y大于等于x，求k的最小值。由于对于质数p，φ（p) = p - 1，易知k应是大于等于y+1的第一个质数。