51nod - 1040 - 最大公约数之和 - 欧拉函数

https://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1040

学到了新知识。

求 $\sum\limits_{i=1}^{n} gcd(i,n) $

枚举d $\sum\limits_{d|n}\sum\limits_{i=1}^{n} [gcd(i,n)==d] d $
提d $\sum\limits_{d|n} d \sum\limits_{i=1}^{n} [gcd(i,n)==d] $
再提d $\sum\limits_{d|n} d \sum\limits_{i=1}^{n/d} [gcd(i,n/d)==1] $
后面是欧拉函数 $\sum\limits_{d|n} d\varphi(n/d) $

枚举d求和。

求单个数的欧拉函数，要枚举其根号下的质因子。

\(\varphi(n)=n\prod(\frac{p-1}{p})\) 此算法每种质因子只算一个。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=100000;

int pri[N+5],tot,zhi[N+5];
void sieve(int n) {
    zhi[1]==1;
    for(int i=2; i<=n; i++) {
        if(!zhi[i])
            pri[++tot]=i;
        for(int j=1; j<=tot&&i*pri[j]<=n; j++) {
            zhi[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j])
                ;
            else
                break;
        }
    }
}

ll phi(int n) {
    ll res=n;
    for(int i=1; i<=tot; i++) {
        if(n%pri[i]==0) {
            res=res/pri[i]*(pri[i]-1);
            while(n%pri[i]==0) {
                n/=pri[i];
            }
        }
        if(n==1)
            return res;
    }
    if(n==1)
        return res;
    else {
        res=res/n*(n-1);
        return res;
    }
}

int main() {
    sieve(N);

    scanf("%d",&n);
    ll ans=0;

    for(int i=1; i*i<=n; i++) {
        if(n%i==0) {
            ans+=1ll*i*phi(n/i);
            if(i*i!=n)
                ans+=1ll*(n/i)*phi(i);
        }
    }

    printf("%lld\n",ans);
}