概率论小结2

随机变量及其分布

一、随机变量

设随机试验的样本空间为S={e}。X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数。称X=X(e)为随机变量。（将样本点映射为实值）

二、离散型随机变量

随机变量全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量。
1、分布律
设离散型随机变量X所有可能取的值为x_k(k=1,2,…)，X取各个可能值的概率，即事件{X=x_k}的概率，为P{X=x_k}=p_k, k=1,2,… （公式表示；还可列表表示分布律）
2、三种重要的离散型随机变量
a、(0-1)分布
设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是P{X=k}=p^k(1-p)^1-k, k=0,1 (0<p<1)，则称X服从以p为参数的(0-1)分布或两点分布。

b、伯努利试验、二项分布
伯努利试验：设试验E只有两个可能结果：A及 $\overline{\text{A}}$ ，则称E为伯努利试验。将E独立(各次试验的结果互不影响)重复地(每次试验中P(A)=p保持不变)进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。

二项分布：以X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，它的分布律是P{X=k}= $\binom n k$ p^k(1-p)^n-k, k=0,1,2,…,n。我们称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，并记为X~b(n,p)。当n=1时，二项分布化为(0-1)分布。

c、泊松分布
设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…，而取各个值的概率为P{X=k}= $\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$ , k=0,1,2,…，其中 $\lambda$ >0是常数。则称X服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，记为X~ $\pi$ ( $\lambda$ )。
$\sum\limits_{k=0}^\infty$ P{X=k}= $\sum\limits_{k=0}^\infty$ $\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$ = $e^{-\lambda}\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}$ = $e^{-\lambda}e^{\lambda}$ =1.
(其中 $e^{\lambda}$ 的泰勒展开为 $\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}$ )

泊松定理： 设 $\lambda$ >0是一个常数，n是任意正整数，设np_n= $\lambda$ ，则对于任一固定的非负整数k，有 ${\lim\limits_{n \to \infty}}\binom n k p^{k}_{n}(1-p_{n})^{k}$ = $\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$ .
定理的条件np_n= $\lambda$ (常数)意味着当n很大时p必定很小。所以当n很大p很小时有 $\binom n k p^{k}_{n}(1-p_{n})^{k}\approx\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$ (其中 $\lambda$ =np)

三、随机变量的分布函数

定义： 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)=P{X $\leqslant$ x}, $-\infty$ <x< $\infty$ 称为X的分布函数。
对于任意实数x₁,x₂(x₁<x₂)，有P{x₁ $\lt$ X $\leqslant$ x₂}=P{X $\leqslant$ x₂}-P{x₁ $\lt$ X}=F(x₂)-F(x₁)
性质：
1.F(x)是一个不减函数
2.0 $\leqslant$ F(x) $\leqslant$ 1，且F(- $\infty$ )= ${\lim\limits_{n \to -\infty}}$ F(x)=0, F( $\infty$ )= ${\lim\limits_{n \to \infty}}$ F(x)=1
3. F(x+0)=F(x), 即F(x)是右连续的。

四、连续型随机变量及其概率密度

定义： 如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数 $f(x)$ ，使对于任意实数x有F(x)= $\int_{-\infty}^x f(t)dt.$ ，则称X为连续型随机变量， $f(x)$ 称为X的概率密度函数，简称概率密度。
性质：
1. $f(x)\geqslant$ 0
2. $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx=1$
3. 对于任意实数x₁,x₂(x₁ $\leqslant$ x₂)，有P{x₁ $\lt$ X $\leqslant$ x₂}=F(x₂)-F(x₁)= $\int_{x_1}^{x_2} f(x)dx$
4. 若 $f(x)$ 在点x处连续，则有 $F^{'}(x)=f(x)$
三种重要的连续型随机变量
1.均匀分布
若连续型随机变量X具有概率密度
$f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, a<x<b\\\\ 0, \space\space\space\space\space\space\space\text{其他} \end{cases}$
则称X在区间(a,b)上服从均匀分布。记为X~U(a,b)

2.指数分布
若连续型随机变量X的概率密度为
$f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{\theta}\ e^{-x/\theta}, \ x>0\\\\ 0, \space\space\space\space\space\space\space\text{其他} \end{cases}$
其中 $\theta>0$ 为常数，则称X服从参数为 $\theta$ 的指数分布。
性质： 对于任意是s，t>0，有P{X>s+t|X>s}=P{X>t}。
这一性质称为无记忆性。如果X是某一元件的寿命，已知元件已使用了s小时，它总共能使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它至少能使用t小时的概率相等。这就是说，元件对它已使用过s小时没有记忆。

3.正态分布
若连续型随机变量X的概率密度为
$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\ e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ , $-\infty<x<\infty$ ,
其中 $\mu$ , $\sigma$ ( $\sigma$ >0)为常数，则称X服从参数为 $\mu$ , $\sigma$ 的正态分布或高斯分布，记为X~N( $\mu$ , $\sigma^2$ )。
性质：
1.曲线关于x= $\mu$ 对称。这表明对于任意h>0有P{ $\mu$ -h $<$ X $\leqslant\mu$ }=P{ $\mu$ $<$ X $\leqslant\mu$ +h}
2.当x= $\mu$ 时取到最大值 $f(\mu)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$
3.在x= $\mu\pm\sigma$ 处有曲线拐点。
特别：
当 $\mu$ =0, $\sigma$ =1时称随机变量X服从标准正态分布。其概率密度和分布函数分别用 $\varphi(x)$ , $\Phi(x)$ 表示，即有
$\varphi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\ e^{-x^2/2}$
$\Phi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x} e^{-t^2/2}dt$
易知 $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$
若X~N( $\mu$ , $\sigma^2$ )，则Z= $\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ ~N(0,1)

一个重要的积分： $\int e^{-\lambda x^2}dx=\sqrt{\pi/\lambda}$

五、随机变量的函数的分布

例设随机变量X具有概率密度 $f(x)$ ， $-\infty<x<\infty$ ，求Y=X²的概率密度。
分别记X，Y的分布函数为F_X(x), F_Y(y)。由于Y=X² $\geqslant$ 0，故当y $\leqslant$ 0时，F_Y(y)=0. 当有y>0时有F_Y(y)=P{Y $\leqslant$ y}=P{X² $\leqslant$ y}=P{ $-\sqrt{y}\leqslant$ X $\leqslant\sqrt{y}$ }=F_X( $\sqrt{y}$ ) $-$ F_X( $-\sqrt{y}$ ).
将F_Y(y)关于y求导数，即得Y的概率密度为
$f_Y(y)=\begin{cases} \dfrac{1}{2\sqrt{y}}[f_x(\sqrt{y})+f_x(-\sqrt{y})], \ y>0\\ 0, \space\space\space\space\space\space\space y\leqslant0 \end{cases}$