概率论小结1

概率论的基本概念

一、随机试验

具备以下三个特点的试验称为随机试验：
1、可以在相同的条件下重复地进行；
2、每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；
3、进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

二、样本空间

将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。
如抛一颗骰子，观察出现的点数。集合{1,2,3,4,5,6}就是这一随机试验的样本空间，样本点位其中的元素。

三、随机事件

试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件。由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。全集S称为必然事件，空集 $\varnothing$ 称为不可能事件。

四、事件间的关系与事件的运算

事件是一个集合。
1.若A $\subset$ B，则称事件B包含事件A，事件A发生必然导致事件B发生。
若A $\subset$ B且B $\subset$ A，即A=B。

2.事件A $\cup$ B={x|x $\isin$ A或x $\isin$ B}称为事件A、B的和事件。当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件A $\cup$ B发生。

3.事件A $\cap$ B={x|x $\isin$ A且x $\isin$ B}称为事件A、B的积事件。当且仅当A，B同时发生时，事件A $\cup$ B发生。A $\cup$ B也记作AB。

4.事件A-B={x|x $\isin$ A且x $\notin$ B}称为事件A、B的差事件。当且仅当A发生，B不发生时，事件A-B发生。

5.若A $\cap$ B= $\varnothing$ 则称事件A与B互不相容，或互斥。事件A与事件B不能同时发生。（基本事件是两两互斥的）

6.若A $\cup$ B=S(样本空间)，且A $\cap$ B= $\varnothing$ ，则称事件A、B互为逆事件，或互为对立事件。即每次试验，A、B中必有一个发生且仅有一个发生。

注意： 对立一定互斥，但互斥不一定对立。

五、概率的一些性质

1.非负性：对于每一事件A，有P(A) $\geqslant$ 0
2.规范性：对于必然事件S，有P(S)=1
3.可列可加性：设A₁，A₂，…是两两互不相容的事件，有P(A₁ $\cup$ A₂ $\cup$ …)=P(A₁)+P(A₂)+…

其他的一些性质：
1.P( $\varnothing$ )=0
2.若A₁，A₂，…，A_n是两两互不相容的事件，则有P(A₁ $\cup$ A₂ $\cup$ … $\cup$ A_n)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)
3.若A $\subset$ B，则有P(B-A)=P(B)-P(A); P(B) $\geqslant$ P(A)
4.P(A) $\leqslant$ 1
5.P( $\overline{\text{A}}$ )=1-P(A)
6.对于任意两个事件A，B，有P(A $\cup$ B)=P(A)+P(B)-P(AB)

概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的

六、条件概率

定义： 设事件A，B是两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)= $\frac{P(AB)}{P(A)}$ 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
性质：
1.非负性：对于每一事件B，有P(B|A) $\geqslant$ 0
2.规范性：对于必然事件S，有P(S|A)=1
3.可列可加性：设B₁，B₂，…，是两两互不相容的事件，则有
P( $\bigcup\limits_{i=1}^\infty$ B_i|A)= $\sum\limits_{i=1}^\infty$ P(B_i|A)

其他的一些性质同上概率的一些性质。如
P(B₁ $\cup$ B₂|A)=P(B₁|A)+P(B₂|A)-P(B₁B₂|A)

乘法定理： 设P(A)>0，则有P(AB)=P(B|A)P(A)

对于多个事件，如A，B，C为事件，且P(AB)>0，则有
P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)。（由假设P(AB)>0可推得P(A) $\geqslant$ P(AB)>0）

更一般的，设A₁，A₂，…，A_n为n个事件，n $\geqslant$ 2，且P(A₁A₂…A_n)>0，则有
P(A₁A₂…A_n)=P(A_n|A₁A₂…A_n-1)P(A_n-1|A₁A₂…A_n-2)…P(A₂|A₁)P(A₁)

全概率公式和贝叶斯公式：
1.样本空间的划分： 设S为试验E的样本空间，B₁，B₂，…，B_n为E的一组事件。若(i)B_iB_j= $\varnothing$ ，i $=\not$ j ，i，j=1,2…n；(ii)B₁ $\cup$ B₂ $\cup$ … $\cup$ B_n=S。称B₁，B₂，…，B_n为样本空间S的一个划分。

2.全概率公式：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B₁，B₂，…，B_n为S的一个划分，且P(B_i)>0(i=1,2,…,n)，则
P(A)=P(A|B₁)P(B₁)+P(A|B₂)P(B₂)+…+P(A|B_n)P(B_n)= $\sum\limits_{i=1}^n$ P(A|B_i)P(B_i)。（把每一部分的A加起来就是整个A）

3.贝叶斯公式：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B₁，B₂，…，B_n为S的一个划分，且P(A)>0，P(B_i)>0(i=1,2,…,n)，则P(B_i|A)= $\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum\limits_{i=1}^nP(A|B_i)P(B_i)}$
其中P(B_i)一般称为先验概率；P(B_i|A)一般称为后验概率（在得到A信息后，对B_i的概率加以修正）。

七、独立性

定义： 设A，B是两事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A，B相互独立。
若P(A)>0，P(B)>0，则A，B相互独立与A，B互不相容（P(AB)=0）不能同时成立。
定理1： 设A，B是两事件，且P(A)>0. 若A，B相互独立，则P(B|A)=P(B). 反之亦然。
定理2： 若事件A与B相互独立，则A与 $\overline{\text{B}}$ ， $\overline{\text{A}}$ 与B， $\overline{\text{A}}$ 与 $\overline{\text{B}}$ 也相互独立。

定义： 设A，B，C是三个事件，如果满足等式：P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C )，P(AC)=P(A)P(C )，P(ABC)=P(A)P(B)P(C )，则称事件A，B，C相互独立。
一般，设A₁，A₂，…，A_n为n(n $\geqslant$ 2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称A₁，A₂，…，A_n相互独立。
推论：
1.若事件A₁，A₂，…，A_n(n $\geqslant$ 2)相互独立，则其中任意k(n $\geqslant$ k $\geqslant$ 2)个事件也是相互独立的。
2.若n个事件A₁，A₂，…，A_n(n $\geqslant$ 2)相互独立，则将A₁，A₂，…，A_n中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。

两个事件相互独立的含义是它们中一个已发生，不影响另一个发生的概率。