【数论基础】- 素数筛

两种素数筛法

引言：
唯一分解定理：算术基本定理可表述为：任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P1a1P2a2P3a3…Pnan，这里P1<P2<P3…<Pn均为质数，其中指数ai是正整数。这样的分解称为 N 的标准分解式。
**思想：**素数可以组成其他的所有合数，所以我们对每一个素数进行筛选的时候，可以考虑素数组成的数，那就一定不是素数，因此就有了两种筛法。
1.nlognlogn的算法：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<stack> 
#define maxn 100005
using namespace	std;
typedef long long ll;
int t=0,vis[maxn],f[maxn];
void Sprime(int n){
	memset(vis,0,sizeof vis);
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){
			f[t++]=i;
			for(int j=i*i;j<=n;j+=i){
				vis[j]=1;
			}
		}
	}
}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	Sprime(n);
	for(int i=0;i<t;i++) cout<<f[i]<<' ';
	return 0;
}

2.O(n)的算法：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<stack> 
#define maxn 100005
using namespace	std;
typedef long long ll;
int t=0,vis[maxn],f[maxn];
void Sprime(int n){
	memset(vis,0,sizeof vis);
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]) f[t++]=i;
		for(int j=0;j<t&&i*f[j]<=n;j++){
			vis[i*f[j]]=1; //由每一个质数筛去他们组成的合数 
			if(i%f[j]==0) break; //为了每次都考虑最小质因子而设定 
		}
	}
}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	Sprime(n);
	for(int i=0;i<t;i++) cout<<f[i]<<' ';
	return 0;
}

总结：
其实就是唯一分解定理的应用，仔细想这个代码，才能彻底看懂。总之，就是对于素数，他必定是某个数的因子，我们就可以把以他们作为因子构成的数先筛掉，就会减少判断次数，从而降低时间复杂度。