数论-素数筛法小结

素数筛法一直是我前期学习的难题，现在把它总结一下，防止忘记。

① 普通筛法 O(n√n)

根据定义，一个合数n一定可以由两个数相乘得到，这两个因数一个大于√n,另一个小于√n,所以可以对因数从2到√n进行枚举，判断是否可以被n整除，如无法整除，则为素数。

② 埃氏筛法 O(n㏒n)

如果一个数是素数，那么他的倍数就一定是合数，就可以在给定范围内将他的倍数先筛掉，所以我们可以开一个标记数组，先假定开始所有数的状态都是素数（即未被标记）。首先我们从2到n开始枚举，如未被标记，则该数为素数，我们再将该数在n内的所有倍数筛掉（标记）。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int prime[50005],//储存素数
    flag[50005],//标记数组
    cot;//计数
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
       if(!flag[i])//如未被标记，即是素数
       {
         prime[cot++]=i;//加入素数数组中
         for(int j=2*i;j<=n;j+=i)//将倍数都标记
         {
           flag[j]=1;
         }
       }
    }
//    printf("%d\n",cot);
//    for(int i=0;i<cot;i++)
//    {
//      printf("%d ",prime[i]);
//    }
return 0;
}

③线性筛法（欧拉筛） O(n)

因为在埃氏筛法中，有的数被筛了多次，如6，都被2和3筛过，所以要进行优化，保证每个数只被筛了一次。在欧拉筛法中，我们对每个数都进行枚举，将它与已得到的素数的乘积筛去，而为了保证每个数不重复筛去，如果该数可以被已得到素数整除，那么说明已被筛过。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int prime[50005],//存素数
    flag[50005],//标记数组，是否被筛
    cot;
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
       if(!flag[i])//如未被筛
       {
        prime[cot++]=i;//储存
       }
       for(int j=0;j<cot&&prime[j]*i<=n;j++)
       {
          flag[prime[j]*i]=1;//将倍数筛去
          if(i%prime[j]==0)//i这个数已被筛，跳出
            break;
       }
    }
//    printf("%d\n",cot);
//    for(int i=0;i<cot;i++)
//    {
//      printf("%d ",prime[i]);
//    }
return 0;
}

其实在埃氏筛中，我们最外层循环是找到素数，然后从再将其所有倍数筛去；
而在欧拉筛中，我们的最外层循环其实就枚举了倍数，然后再在内层循环中与已得到素数相乘，筛去更大的倍数（其实这里就与埃氏筛类似，将素数的倍数筛去），而 if(i%prime[j]==0) break; 这句确保了每个数只被筛一次，以此降低了时间复杂度。