素数判定及筛法

试除法求质数

质数是在大于一的整数中，只能被1 和 它本身整除的数，也叫素数。

时间复杂度为O(sqrt(n))

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main()
{
	int n, x;
	
	cin >> n ;
	while(n -- )
	{
		int flag = 0;
		cin >> x;
		if(x < 2 ) cout << "No" << endl;
		else
		{
			for(int i = 2 ; i <= x / i; i++ )
			{
				if(x % i == 0)
				{
					flag = 1;
					cout << "No" <<endl;
					break; 
				}
			}
			if(flag == 0)
			cout << "Yes" <<endl;
		 } 
	}
}

分解质因数

分解质因数就是把一个合数拆分成== 质因子x 质因子== 的形式。

输出样例中

2 1
3 1//以指数和底数的形式体现，2*3=6
空行
2 3 //2 的三次方

是要以底数和指数的形式（a^n）输出，一定要理解。

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

void divide(int n)
{
	for(int i = 2; i <= n / i; i ++)
	{
		if(n % i == 0)//i 是 n 的因子 
		{
			int s = 0;
			while(n % i == 0)
			{
				n /= i;
				s ++ ;
			}
			cout << i <<" "<< s << endl;
		}
	} 
	if(n > 1) cout << n << " "<< 1 << endl;
	cout << endl;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	int n;
	cin >> n;
	while(n -- )
	{
		int x;
		cin >> x;
		divide(x);
	}
	return 0;
}

埃式筛法

埃式筛法是一种古老而简单的方法，可以快速找到 [2, n] 内的所有的素数，对于初始{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，… , n}:
（1）输出最小素数2，然后筛掉2的倍数。
（2）输出最小素数3，然后筛掉3的倍数。
（3）输出最小素数5，筛掉5的倍数。
以此类推，直到队列为空。
算法时间复杂度为O(nloglogn)

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1000010;
int prime[N], cnt;
bool st[N];//默认false ,是质数就是false,不是为true 
void get_prime(int n)
{
	for(int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if(!st[i])//i 是质数 
		{
			prime[cnt ++ ] = i;//是质数就计1 
			for(int j = i + i; j <= n; j += i )
				st[j] = true; //筛除 i 的倍数 
		}
	}
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	
	get_prime(n);
	
	cout << cnt <<endl;
	
	return 0;
}

埃式筛法限制条件是n <= 10^7

线性筛法

思想是：n只会被最小质因子筛掉
时间复杂度O(n)

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1000010;
int prime[N], cnt;
bool st[N];//默认false ,是质数就是false,不是为true 
void get_prime(int n)
{
	for(int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if(!st[i]) prime[cnt ++ ] = i;//i 是质数 
		for(int j = 0; prime[j] <= n / i; j ++ )
		{
			st[prime[j] * i] = true;//将i的倍数记为不是质数 
			if(i % prime[j] == 0) break;	//prime[j]一定是i的最小质因子 
		}
			 
	}
	
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	
	get_prime(n);
	
	cout << cnt <<endl;
	
	return 0;
}

线性筛法会更快一些。