引入
素数是指只能被1和自身整除的数
- 初学编程的时候，只根据这个素数的这个定义，我们能够写出简单的判断素数或者素数打表的程序，大概如下
bool Is_prime(int n){
if(n == 2) return true;
if(n == 1||n % 2 == 0) return false;
for(int i = 3;i < n;i+=2) if(n % i == 0) return false;
return true;
}
void Prime(int n){
int tot = 0;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(Is_prime(i)){
p[tot++] = i;
}
}
}
- 后来又知道判断n的因子的时候不需要一直到n，只需要到根号n即可，所以可做优化如下
bool Is_prime(int n){
if(n == 2) return true;
if(n == 1||n % 2 == 0) return false;
for(int i = 3;i <= sqrt(n);i+=2) if(n % i == 0) return false;
return true;
}
void Prime(int n){
int tot = 0;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(Is_prime(i)){
p[tot++] = i;
}
}
}
- 这算不上筛法，只能算一种方法，它的时间复杂度大概是O（n√n），当n到达106时，计算效率已经不可接受，需要寻求更好的方法
埃拉托色尼筛法
- 埃氏筛的核心思想在于用前面的质数去筛掉后面的数，根据算数基本定理，任何一个大于1的非质数都能分解成有限个质数乘积的形式
- 简单而言，就是用2筛掉它的所有倍数，用3筛它的所有倍数，用5筛它的所有倍数，一直往后
- 那么程序应该可以写出来
void Prime(int n){
int tot = 0;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!vis[i]) p[tot++] = i;
for(int j=2*i;j<=n;j+=i){
vis[j] = 1;
}
}
}
- 可以做两个简单的优化，第一个，找因子的时候到√n就可以了；第二个，j从i*i开始，因为前面的已经算过了，比如i=4的时候，2*4，3*4在i=2和3的时候分别筛过，所以不需要再筛
void Prime(int n){
int tot = 0;
for(int i=2;i*i<=n;i++){
for(int j=i*i;j<=n;j+=i){
vis[j] = 1;
}
}
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!vis[i]) p[tot++] = i;
}
}
- 此筛法时间复杂度为O（nlog2（log2（n）））
欧拉筛法
- 埃氏筛存在一个问题，比如12这个数，它会被2和3分别筛掉一次，这样就造成了一种浪费，那么能不能把这个浪费去掉呢？
- 相对于12来说，2和3都是它的因子，那么如果想去掉一个，那么一定是3，因为我们是从小往大筛的，所以每次只用它的最小质因子筛，这样就可以做到只筛一次
- 这种筛法是线性的，所以也叫线性筛法
void Prime(int n){
int tot = 0;
for(int i = 2;i <= n;i++){
if(!vis[i]) p[tot++] = i;
for(int j = 0;j < tot&&i*p[j] <= n;j++){
vis[i*p[j]] = 1;
if(i % p[j] == 0) break;
}
}
}
- 如果找到最小质因子那么break
习题
首先先是模板题
n范围是108，只能线性筛
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <queue>
#include <stack>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 1e8+100;
int Data[MAXN];
int p[MAXN];
int vis[MAXN];
void Prime(int n){
int tot = 0;
for(int i = 2;i <= n;i++){
if(!vis[i]) p[tot++] = i;
for(int j = 0;j < tot&&i*p[j] <= n;j++){
vis[i*p[j]] = 1;
if(i % p[j] == 0) break;
}
}
}
int main(){
int n,q;
scanf("%d%d",&n,&q);
Prime(n);
while(q--){
scanf("%d",&n);
printf("%d\n",p[n-1]);
}
return 0;
}
- 从偶数一半开始找，素数预先打表，查找的时候二分查找即可
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <queue>
#include <stack>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 2e5+100;
int Data[MAXN];
int p[MAXN];
int vis[MAXN];
void init(int n){
int tot = 0;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!vis[i]) p[tot++] = i;
for(int j=0;i*p[j]<=n&&j<tot;j++){
vis[i*p[j]] = 1;
if(i%p[j] == 0) break;
}
}
}
int main(){
init(20000);
int m;
while(cin>>m){
int t = m/2;
int pos = lower_bound(p, p + 2000, t) - p;
while(true){
if(binary_search(p, p + 2000, m - p[pos])){
cout<<m - p[pos]<<" "<<p[pos]<<endl;
break;
}
pos++;
}
}
return 0;
}
codeforces div2 B题
给定一个数d，现在要求一个可能的最小数a，使得a至少有4个除数，且除数之间距离最少是d
- 首先1和a一定是a的除数，那么至少还剩下两个除数，要想使除数之间距离最少是d，那么这两个除数必须是质数，假设它们是合数，那么根据算数基本定理，它们能分解成若干质数乘积，这些质数也是a的除数，这样除数之间距离又减小了；那么能不能有两个以上的除数呢？首先他们都是质数，如果是这样，那么a就是它们三个的乘积，这种情况求出的a不是最小值
- 所以首先要打素数表，找到第一个大于等于d+1的值，再找到第二个大于等于第一个值+d的值，乘积即为a
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <queue>
#include <stack>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 1e5+100;
int p[MAXN];
int vis[MAXN];
void Prime(int n){
int tot = 0;
for(int i = 2;i <= n;i++){
if(!vis[i]) p[tot++] = i;
for(int j = 0;j < tot&&i*p[j] <= n;j++){
vis[i*p[j]] = 1;
if(i % p[j] == 0) break;
}
}
}
int main(){
int t,d;
Prime(50000);
cin>>t;
while(t--){
cin>>d;
int a = p[lower_bound(p, p + 10000, d + 1) - p];
int b = p[lower_bound(p, p + 10000, a + d) - p];
cout<<(1LL) * a * b<<endl;
}
return 0;
}