Dijkstra最短路径算法（附C++代码）

Dijkstra算法是一种单源最短路径算法，且算法要求图中不存在负权边，其伪代码如表 $S1$ 所示。假设 $G = (V, E)$ 是一个带权的有向图，在图 $G$ 中把顶点集合 $V$ 分为两组：第一组是已经求出最短路径的顶点集合 $S$，初始的 $S$ 只有一个顶点（源点 $v_1$），在后续的解算过程中，每求解一条最短路径时，将其顶点加入到集合 $S$，直至所有的顶点都在 $S$ 中，结束算法；第二组是还未被解算的顶点集合 $U$，将 $U$ 中的顶点按照路径长度的递增顺序依次添加到顶点集合 $S$ 中，且需要满足从源点 $v_1$ 到集合 $S$ 中每个顶点的最短距离要小于等于从源点 $v_1$ 到集合 $U$ 中任何一个顶点的最短距离。

表S1 Dijkstra算法伪代码 
for each node v	
	dis(v) ← +∞	
	previous (v) ← undefined	
	dis(source) ← 0	
	while num(S) < n	▷ S为顶点集合
		u ← node with smallest distance	
		Remove u	
		for each node v in S	
			alt ← dis(u) + dis(u,v)	
			if alt < dis(v) then	
				dis(v) ← alt	▷ 更新距离
				previous(v) ← u	

如上图所示， $G = (V, E)$ 是一个带权的有向图，其中 $V$ $=$ $\{v_1,$ $v_2,$ $v_3,$ $v_4,$ $v_5,$ $v_6,$ $v_7\}$， $E = {<v_i, v_j>}$, 所有的 $i, j = [1, 7]$，求解以顶点 $v_1$ 为源点的各个顶点的最短距离，算法示例步骤：

1. 初始时， $S$ 中只有一个顶点（源点 $v_1$）， $S = {v_1(<v_1, v_1>)}$，即 $S = {v_1(0)}$；此时 $U$ 中包含除 $v_1$ 以外的所有点，若 $v_1$ 与 $U$ 中的顶点 $u$ 有边，则 $<v_1, u>$ 有权值，反之， $<v_1, u>$ 的权值为 $∞$， $U = {v_i(<v_1, v_i>)}$, 所有的 $i = [2, 7]$，即 $U$ $=$ $\{v_2(12),$ $v_3(7),$ $v_4(∞),$ $v_5(23),$ $v_6(∞),$ $v_7(26)\}$。
2. 从 $U$ 中取出最短的顶点 $v_3$，其权值为 $7$，将 $v_3$ 加入 $S$ 中，此时 $S = \{v_1(0),$ $v_3(7)\}$；由于 $<v_3, ~v_4>$ 的权值为 $6$， $<v_1, v_4>$ $=$ $<v_1, v_3>$ $+$ $<v_3, v_4>$ $= 13$，小于 $∞$；即 $U$ $=$ $\{v_2(12),$ $v_4(13),$ $v_5(23),$ $v_6(∞),$ $v_7(26)\}$。
3. 从 $U$ 中取出最短的顶点 $v_2$，其权值为 $12$，将 $v_2$ 加入 $S$ 中，此时 $S = \{v_1(0), v_3(7), v_2(12)\}$；由于 $<v_2, v_6>$ 的权值为 $11$， $<v_1, v_6>$ $=$ $<v_1,v_2>$ $+$ $<v_2, v_6>$ $=$ $23 < ∞$；由于 $<v_2, v_7>$ 的权值为6， $<v_1, v_7>$ $=$ $<v_1, v_2>$ $+$ $<v_2, v_7>$ $= 18 < 26$；即 $U =$ $\{v_4(13),$ $v_5(23),$ $v_6(23),$ $v_7(18)\}$。
4. 从 $U$ 中取出最短的顶点 $v_4$，其权值为 $13$，将 $v_4$ 加入 $S$ 中，此时 $S$ $= \{v_1(0),$ $v_3(7),$ $v_2(12),$ $v_4(13)\}$；由于 $<v_4, v_5>$ 的权值为 $6$， $<v_1, v_5>$ $= <v_1, v_4>$ $+ <v_4, v_5>$ $= 19 < 23$；即 $U =$ $\{v_5(19),$ $v_6(23),$ $v_7(18)\}$。
5. 从 $U$ 中取出最短的顶点 $v_7$，其权值为 $18$，将 $v_7$ 加入 $S$ 中，此时 $S =$ $\{v_1(0),$ $v_3(7),$ $v_2(12),$ $v_4(13),$ $v_7(18)\}$， $U =$ $\{v_5(19),$ $v_6(23)\}$。
6. 从 $U$ 中取出最短的顶点 $v_5$，其权值为 $19$，将 $v_5$ 加入 $S$ 中，此时 $S =$ $\{v_1(0),$ $v_3(7),$ $v_2(12),$ $v_4(13),$ $v_7(18),$ $v_5(19)\}$；由于 $<v_5, v_6>$ 的权值为 $2$， $<v_1, v_6>$ $= <v_1, v_5>$ $+ <v_5, v_6>$ $= 21 < 23$；即 $U = \{v_6(21)\}$。
7. 从 $U$ 中取出最短的顶点 $v_6$，其权值为 $21$，将 $v_6$ 加入 $S$ 中，此时 $S$ $= \{v_1(0),$ $v_3(7),$ $v_2(12),$ $v_4(13),$ $v_7(18),$ $v_5(19),$ $v_6(21)\}$， $U = ∅$。
8. 此时 $U = ∅$，已经获取到以 $v_1$ 为源点的各个顶点的最短距离，Dijkstra算法结束。

附C++代码：

#define DB_MAX 100000000.0

bool dijkstra(float** pathvalue, int pointnum, int v, float* dist, int* path)
{
	int n = pointnum;
	bool *S = new bool[n];
	int i, j, k;
	float w, min;

	for (i = 0; i < n; ++i)
	{
		dist[i] = pathvalue[v][i];
		S[i] = false;
		if(i != v && dist[i] < DB_MAX)
			path[i] = v;
		else
			path[i] = -1;
	}

	S[v] = true;
	dist[v] = 0;
	for (i = 0; i < n-1; ++i)
	{
		min = DB_MAX;
		int u = v;
		for (j = 0; j < n; ++j)
		{
			if(S[j] == false && dist[j] < min)
			{
				u = j;
				min = dist[j];
			}
		}
		S[u] = true;
		for (k = 0; k < n; ++k)
		{
			w = pathvalue[u][k];
			if(S[k] == false && w < DB_MAX && dist[u] + w < dist[k])
			{
				dist[k] = dist[u] + w;
				path[k] = u;
			}
		}
	}
	return true;
}