树状数组和线段树听说是区分ACMer和其他人的重要区别，嘿嘿嘿。。。
树状数组总体而言可以总结为一个很简单的问题复杂化，但是时间简单化。
问题的引入：
给定n个数，a[1]…a[n]。每次我们可能有两种操作：
（1）求出a[i]…a[j]的和；
（2）给a[x]的值加上一个值val。
n的规模如果比较大（约100000）
该如何高效的实现？
这个时候如果我们通过暴力求解的话，1000ms的时间内如果数据达到了10e5就会直接超时，总体而言我们要找到一种新的方法进行工作，树状数组应运而生。
这个图片太精彩了！！
方格中数字代表对应数组的第几个元素,下排是a数组,其上方的是e数组,最下的二进制则是对应编号的二进制表示.
箭头表示这个数组元素被哪个数组元素包含了,比如e[2]=e[1]+a[2]=a[1]+a[2], e[4]=e[2]+e[3]+a[4]=e[2]+a[3]+a[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4].
注意观察:
1.a的每个元素至多仅被E的一个元素包含,这点和树有很大相同,但整体并不是树
2.每个ei可认为是仅包含ai和其它若干个e元素
3.每个ei包含的元素数目(不包括ai在内)为i的二进制表示中末位连续的0的个数
同时我们也会对于这个树状数组的应用产生以下的疑问：
1.对应二进制数的最末连续0的个数如何得知?
2.如何存储?
3.如何在修改时访问需要访问的元素?
4.如何在求和时访问需要访问的元素?
就让我们一个一个的来解决！
1、通过位运算进行解决
在实际应用中,我们需要的不是最末连续的0的个数,而是最末那段”1000”对应的十进制数
lowbit(x) := (((x-1) xor x) and x);
或者:
lowbit(x) := ((-x) and x);
2、存储直接使用一维数组就可以啦
如何访问父亲和兄弟?
由于某元素和其父亲,最近的兄弟在下标上存在关系(与lowbit(x)有关),利用这个关系就可以用一维数组存储了,而且稍后你会发现,
存储e数组即可,无需存储a数组.
3、事实上修改操作只涉及到父节点的访问
经过观察和探究,前人们得出了这个规律:
父亲:比他大的,离他最近的,末位连续0比他多的数就是他的父亲,X节点父亲的编号=x+lowbit(x)
4、当我们求1…x的信息时,e[x]如果包含的不是1…x的全部信息,(比如e[6]=a[5]+a[6])就需要再找一个ek累加起来,这个k我们称之为x的前驱,举个例子:
a[1]+a[2]+…+a[6]=e[6]+e[4],a[1]+a[2]+…a[7]=e[7]+e[6]+e[4]
前驱的编号即为比自己小的,最近的,最末连续0比自己多的数
所以前驱=x-lowbit(x)
当然这些都可以用我做的下面的代码进行实现，为了方便理解，我通过循环把图片直接转换为了代码形式
#include<iostream>
using namespace std;
int lowbit(int x)
{
return (-x) & x;
}
int change(int x)
{
int a = 0;
while (x != 0)
{
a = a * 10 + x % 2;
x /= 2;
}
return a;
}
int getfather(int x)
{
return x + lowbit(x);
}
int getson(int x)
{
return x - lowbit(x);
}
int main()
{
int i;
for (i = 1; i <= 10; ++i)
{
cout << i << " 二进制：" << change(i) << " 二进制0的个数：" << lowbit(i) << " 他的父亲节点：" << getfather(i) << "他的前驱:" << getson(i) << endl;
}
return 0;
}
不方便编译可以直接看我的答案：
1 二进制：1 二进制0的个数：1 他的父亲节点：2他的前驱:0
2 二进制：1 二进制0的个数：2 他的父亲节点：4他的前驱:0
3 二进制：11 二进制0的个数：1 他的父亲节点：4他的前驱:2
4 二进制：1 二进制0的个数：4 他的父亲节点：8他的前驱:0
5 二进制：101 二进制0的个数：1 他的父亲节点：6他的前驱:4
6 二进制：11 二进制0的个数：2 他的父亲节点：8他的前驱:4
7 二进制：111 二进制0的个数：1 他的父亲节点：8他的前驱:6
8 二进制：1 二进制0的个数：8 他的父亲节点：16他的前驱:0
9 二进制：1001 二进制0的个数：1 他的父亲节点：10他的前驱:8
10 二进制：101 二进制0的个数：2 他的父亲节点：12他的前驱:8
是不是很精彩呢~~
