零极点与系统函数

通常LTI系统的系统函数是s或z的有理分式,为有理分式 $B(\cdot)$与 $A(\cdot)$之比即
$H(\cdot)=\frac{B(\cdot)}{A(\cdot)}$
对于连续系统s域表达式
$H(s)=\frac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1} +\cdots +b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots +a_1s+a_0}$
分解因式后得到
$H(s)=\frac{b_m \prod_{j=1}^m (s-\xi_i)}{\prod_{i=1}^n (s-p_i)}$

对于离散系统
$H(z)=\frac{b_mz^m+b_{m-1}z^{m-1}+\cdots +b_1z+b_0}{z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0}$
因式分解后
$H(z)=\frac{b_m \prod_{j=1}^m (z-\xi_i)}{\prod_{i=1}^n (z-p_i)}$

在连续或离散系统中,使 $A(\cdot)=0$的根 $p_1,p_2,\cdots,p_n$称为极点
在连续或离散系统中,使 $B(\cdot)=0$的根 $\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n$称为零点

根据极点位置判断系统稳定性

连续系统

对于连续系统来说，极点在s平面上的分布可分为:左半开区间,虚轴,右半开区间.

1. 在左半开区间内：

• • 负单极点 $p_i=-a$, 说明 $A(s)$中含有 $\frac{1}{s+a}$,所对应的响应为 $Ae^{-at}\varepsilon(t)$.可见响应按指数衰减,当 $t\to \infty$时响应趋近于零.
• • 共轭负极点 $p_{1,2}=-\alpha \pm \beta j$,说明 $A(s)$中含有 $\frac{s+\alpha}{(s+\alpha)^2+\beta^2}$，所对应的响应为 $Ae^{-\alpha t}\cos(\beta t+\theta) \varepsilon(t)$.可见响应按指数衰减,当 $t\to \infty$时响应趋近于零.
• • r重单极点，则 $A(s)$中含有 $\frac{1}{(s+a)^r}$，所对应的响应为 $A_jt^je^{-at}\varepsilon(t),(j=1,2,\cdots,r-1)$,当 $t\to \infty$时响应趋近于零.
• • r重共轭负极点,则 $A(s)$中含有 $[\frac{s+\alpha}{(s+\alpha)^2+\beta^2}]^r$,所对应的响应为 $A_jt^je^{-\alpha t}\cos(\beta t + \theta_j) \varepsilon(t),(j=1,2,\cdots,r-1)$,当 $t\to \infty$时响应趋近于零.

2. 在虚轴上：

• • 单极点 $p=0$,对应响应 $A\varepsilon(t)$,响应幅度不随时间变化.
• • 共轭极点 $p_{1,2}=\pm \beta j$,对应响应 $A\cos(\beta t+\theta )\varepsilon(t)$,响应幅度不随时间变化.
• • r重极点，对应响应分别为 $A_jt^j\varepsilon(t)$和 $A_jt^j\cos(\beta t + \theta_j) \varepsilon(t)$,响应幅度随时间增长而增长.

3. 在右半平面上：

• • 单极点 $p=\alpha$,说明 $A(s)$中含有 $\frac{1}{s-\alpha}$,对应响应为 $A e^{\alpha t}\varepsilon(t)$,响应幅度随时间增长而增长.
• • 共轭负极点 $p_{1,2}=\alpha \pm \beta j$,说明 $A(s)$中含有 $\frac{s-\alpha}{(s-\alpha)^2+\beta^2}$，所对应的响应为 $Ae^{\alpha t}\cos(\beta t+\theta) \varepsilon(t)$,响应幅度随时间增长而增长.
• • r重极点,所对应的响应分别为 $A_jt^je^{\alpha t}\varepsilon(t)$和 $A_jt^je^{\alpha t}\cos(\beta t + \theta_j) \varepsilon(t)$,响应幅度随时间增长而增长.

因此不难得出: 对于因果系统:
在左半开平面的极点对应的响应函数均为衰减.因此,极点全部在左半开平面的系统是稳定系统
在虚轴上的一阶极点对应的响应函数的幅度不随时间变化.
在虚轴上二阶及二阶以上极点和在右半开平面上的极点对应的响应函数,当 $t\to \infty$时趋近于无穷大,是不稳定系统.

离散系统

根据s域和z域的映射关系,我们同样也可以把离散系统的系统函数极点分为:

1. 单位圆内
2. 单位圆上
3. 单位圆外

我太懒了,不想再挨个写,所以只写结论
甚至结论都是复制的

仍然对于因果系统来说：
在单位圆内的极点对应的响应函数均为衰减.因此,极点全部在单位圆内的系统是稳定系统.
在单位圆上的一阶极点对应的响应函数的幅度不随n变化.
在单位圆上二阶及二阶以上极点和在单位圆外的极点对应的响应函数,当 $n\to \infty$时趋近于无穷大,是不稳定系统.

根据零极点描述频域响应

相关文献
对于稳定系统，也就是说极点均分布于左半开平面，进而在虚轴上同样收敛，系统的频率响应为
$H(j\omega) = H(s)|_{s=j\omega} = \frac{b_m \prod_{j=1}^m (s-\xi_i)}{\prod_{i=1}^n (s-p_i)}$
将每一点用向量表示，那么原复数多项式乘积变为向量的点乘.
$\begin{cases} j\omega -p_i= A_i e^{j\theta_i} \\ j\omega -\xi_i=B_i e^{j\phi_i} \end{cases}$
则频率响应可写为
$H(j\omega)=\frac{b_m B_1B_2\cdots B_m e^{j(\phi_1+\phi_2+\cdots+\phi_m)}}{A_1A_2\cdots A_n e^{j(\theta_1+\theta_2+\cdots +\theta_n)}}=|H(j\omega)|e^{j\Phi(\omega)}$
所以有
$|H(j\omega)|=\frac{b_m B_1B_2\cdots B_m}{A_1A_2\cdots A_n} \\ \Phi(\omega)=(\phi_1+\phi_2+\cdots+\phi_m)-(\theta_1+\theta_2+\cdots +\theta_n)$
当 $\omega$变化时,就可以根据各矢量模和辐角的变化,大致确定幅频和相频特性