最小公倍数与最大公约数的三种算法---算法集

题目：输入两个数，求这两个数的最大公约数，及最小公倍数（三种算法）
输入：
Enter a and b:9 27
输出：
最大公约数是:9
最小公倍数是:27

最小公倍数：数论中的一种概念，两个整数公有的倍数成为他们的公倍数，其中一个最小的公倍数是他们的最小公倍数，同样地，若干个整数公有的倍数中最小的正整数称为它们的最小公倍数。
求最小公倍数算法：
最小公倍数=两整数的乘积÷最大公约数

求最大公约数算法：

(1)辗转相除法：

有两整数 a 和 b：
① a%b 得余数 c
② 若 c=0，则 b 即为两数的最大公约数
③ 若 c≠0，则 a=b，b=c，再回去执行①
例如求 27 和 15 的最大公约数过程为：
27÷15 余 12
15÷12 余 3
12÷3 余 0
因此，3 即为最大公约数

/* 辗转相除法求最大公约数 */

#include<iostream>
using namespace std; 

int main()
{
	int m,n,a,b,c;
	cout<<"Enter m,n:"<<endl;
	cin>>m>>n;
	a=m,b=n;
	while(n!=0)
	{
		c=m%n;
		m=n;
		n=c;
	}
	cout<<"最大公约数是："<<m<<endl;
	cout<<"最小公倍数是："<<a*b/m<<endl;
	return 0; 
}

⑵ 相减法

有两整数 a 和 b：
① 若 a>b，则 a=a-b
② 若 a<b，则 b=b-a
③ 若 a=b，则 a（或 b）即为两数的最大公约数
④ 若 a≠b，则再回去执行①
例如求 27 和 15 的最大公约数过程为：
27－15＝12( 15>12 ) 15－12＝3( 12>3 )
12－3＝9( 9>3 ) 9－3＝6( 6>3 )
6－3＝3( 3==3 )
因此，3 即为最大公约数

/* 相减法求最大公约数 */

#include<iostream>
using namespace std; 

int main()
{
	int m,n,a,b;
	cout<<"Enter a,b:"<<endl;
	cin>>a>>b;
	m=a,n=b;
	while(a!=b)
	{
		if(a>b)
			a=a-b;
		else
		    b=b-a;		
	}
	cout<<"最大公约数是："<<a<<endl;
	cout<<"最小公倍数是："<<m*n/a<<endl;
	return 0; 
}

⑶穷举法

有两整数 a 和 b：
① i=1
② 若 a，b 能同时被 i 整除，则 t＝i
③ i++
④ 若 i <= a(或 b)，则再回去执行②
⑤ 若 i > a(或 b)，则 t 即为最大公约数，结束

改进：
① i= a(或 b)
② 若 a，b 能同时被 i 整除，则 i 即为最大公约数，
结束
③ i–，再回去执行②

/* 穷举法求最大公约数 */

#include<iostream>
using namespace std; 

int main()
{
	int m,n,a,b,t;
	cout<<"Enter a,b:"<<endl;
	cin>>a>>b;
	m=a,n=b;
	for(int i=1;i<=a;i++)
		if(a%i==0&&b%i==0)
			t=i;
	cout<<"最大公约数是："<<t<<endl;
	cout<<"最小公倍数是："<<m*n/t<<endl;
	return 0; 
}

改进后的：

#include<iostream>
using namespace std; 

int main()
{
	int m,n,a,b,t;
	cout<<"Enter a,b:"<<endl;
	cin>>a>>b;
	m=a,n=b;
	for(t=a;t>0;t--)//减少了计算次数，降低了时间复杂度
		if(a%t==0&&b%t==0)
		break;
	cout<<"最大公约数是："<<t<<endl;
	cout<<"最小公倍数是："<<m*n/t<<endl;
	return 0; 
}