[剑指-Offer] 63. 股票的最大利润(数组、数学、动态规划、顶级解法)

1. 题目来源

链接：股票的最大利润
来源：LeetCode——《剑指-Offer》专项

2. 题目说明

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。

如果你最多只允许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

注意你不能在买入股票前卖出股票。

示例 1:

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格。

示例 2:

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

3. 题目解析

方法一：数学+思维+动态规划+顶级解法

来自题解区大佬：121. 买卖股票的最佳时机 - dp 7 行简约风格


原数组两个元素的最大差等于求差数组的最大子序和！！！
原数组两个元素的最大差等于求差数组的最大子序和！！！
原数组两个元素的最大差等于求差数组的最大子序和！！！

以前好像在哪听过，又忘记了…忘了就记，就练习，就理解，就吃透。

这个结论简单推导下就可以得出，比如：一个数组中有 $[a,b,c,d]$ 这几个数，那么 $d$ 与 $a$ 的差值可以用相邻两数的差值的最大子序和得出。
$f=(b−a)+(c−b)+(d−c)=d−a$

针对最大子数组的动态规划求解。

参见代码如下：

// 执行用时 :20 ms, 在所有 C++ 提交中击败了20.77%的用户
// 内存消耗 :15.6 MB, 在所有 C++ 提交中击败了5.09%的用户

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        if (prices.size() <= 1) return 0;
        vector<int> vt(prices.size() - 1);
        for (int i = 0; i < prices.size() - 1; ++i) 
            vt[i] = prices[i + 1] - prices[i];
        
        vector<int> dp(vt.size());
        dp[0] = max(0, vt[0]);
        int max= dp[0];
        for (int i = 1; i < vt.size(); ++i) {
            dp[i] = max(0, dp[i - 1] + vt[i]);
            max= max(max, dp[i]);
        }
        return max;
    }
};

方法二：动态规划+巧妙解法

针对原问题的动态规划求解。

$dp[i]$ 表示前 $i$ 天的最大利润，因为我们始终要使利润最大化，则：

$dp[i] = max(dp[i-1], \ \ prices[i]-minprice)$

参见代码如下：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        if (n == 0) return 0; // 边界条件
        int minprice = prices[0];
        vector<int> dp (n, 0);

        for (int i = 1; i < n; ++i){
            minprice = min(minprice, prices[i]);
            dp[i] = max(dp[i - 1], prices[i] - minprice);
        }
        return dp[n - 1];
    }
};

方法三：暴力+常规解法

两次循环，暴力解法。时不时会 TLE。

// 执行用时 :1820 ms, 在所有 C++ 提交中击败了20.77%的用户
// 内存消耗 :14.1 MB, 在所有 C++ 提交中击败了5.09%的用户
class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = (int)prices.size(), ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i){
            for (int j = i + 1; j < n; ++j){
                ans = max(ans, prices[j] - prices[i]);
            }
        }
        return ans;
    }
};