和为S的两个数字，编程题解法思路

题目描述

  输入一个递增排序的数组和一个数字S，在数组中查找两个数，使得他们的和正好是S，如果有多对数字的和等于S，输出两个数的乘积最小的。

题目分析

  任何一道编程题，拿到题目都是从题干入手，思考题干的信息向我们透露出什么含义。这道题的题干中最有用的信息就是就是递增序列。显然，如果不把这个递增用上的话，就无异于是暴力查找，即便是普通的查找，需要找到满足特定条件的两个数最坏情况复杂度是 $O(n^2)$的，在其他时候接触到编程题目需要分析复杂度这一点也是要清楚的，过于暴力的方法(及不改变复杂度的优化)在此不赘述。
  题干中还提到如果有多组，输出数组中乘积最小的，可以证明，如果两个数中较小者在多组数中最小，则这组数的乘积最小，以下有详细证明，可(不)以(感)理(兴)解(趣)的直接跳过。

乘积最小证明

   $已知两个数之和为S，不妨设较小者为a，则另一个数为S-a，求证a越小则两个数乘积f越小$
   $f=a(S-a)=-a^2+aS$
   $乘积f是关于$a $的二次函数，因为二次项系数为-1小于0，则二次函数开口向下，对称轴为\frac{S}{2}$
$又\because a≤S-a，\therefore a≤\frac{S}{2}，故a位于二次函数的对称轴左边，所以f是关于a的增函数，即a越小，则f越小$。

暴力解法优化 $O(nlgn)$

  暴力解法之所以暴力是在于没有将数组递增这个条件用上，以至于在查找的过程中无法根据查找的相关性来减少查找次数，首先知道就是两个数之和是S，所以两个数是有相关性的，如果我们查找到第一个数a，那么第二个数我们就知道是 $S-a$了，所以我们直接去判断 $S-a$是否在数组中即可。
  我们要判断 $S-a$是否在数组中，此时需要用到数组是递增的特点，相当于有序数组的查找，显然使用二分查找可以降低复杂度，同时，在编写代码的时候，第一个数字a我们不确定，只能从前往后(从小往大)遍历，在二分查找 $S-a$时，前面的数组已经不需要遍历了，所以查找的时候，只需要从当前数字的后面到数组末尾进行二分查找即可。找到的第一组数字其中较小者肯定是最小的，所以该组数字乘积肯定是最小的。
  核心代码是一个循环加二分查找，代码过于简单，就不需要写了。当然查找可以比较一下第一个数找到 $S/2$就可以不继续往下找了，这些都是小技巧。

技巧解法 $O(n)$

  最好的解法一定是把所有题干信息都用到了，而且往往还要用到一定的特殊技巧。至于特殊技巧的部分可以当成定式然后去记忆，遇到类似的题目能够套用即可。
  本题的特殊技巧是双指针，具体的操作流程是这样：判断两个指针如果不重合则一直循环，每次循环的过程是一个指针在数组中从前往后扫描，一个从后往前，如果两个指针指向的数字之和小于S，则前面的指针往后(大)移，如果两数之和大于S，则后面的指针往前(小)移动，如果两数之和等于S，则返回。
  很多人对这个流程的原理可能不理解，下面我给出理由，同样，理解的可以跳过。

双指针原理探究

  最差情况下，两边指针重合，相当于把整个数组都扫描了一遍，复杂度为 $O(n)$。如果存在两个数和为S，则扫描整个数组，一定可以找到其中的一个，不失一般性，假设先找到的是两个数中较小者，较小者指针为i，较大者指针为j。先找到较小者此时i指针确定，因为较大者的指针是从大向小扫描，则还没找到，此时j指向的数字一定是比较大者大的，然后j不断的减1直到找到该数字。为什么j指向的数字一定是比较大者大呢，因为如果j指向的数字比较大者小的话，那么与我们假设的先找到较小的数字矛盾。如果较大指针指向的数比较大数大，那么较大指针会持续减小，直到等于较大数。同样，先找到较大者也是一样的道理。
  再看乘积最小的条件，之前证明过较小的数越小，则乘积越小，因为两数之和是相等的，同样说明较大的数越大，则乘积越小，乘积越小的两个数越是靠两边的，所以不管是较小的数还是较大的数总是比其他的一组数发现的更早。
  综上，如果存在正确答案一定会找到，且满足乘积最小。

C++代码实现

class Solution {
public:
	vector<int> FindNumbersWithSum(vector<int> array, int tsum) {
		int i = 0, j = array.size() - 1;
		while (i < j) {
			i += (array[i] + array[j] < tsum);
			j -= (array[i] + array[j] > tsum);
			if (array[i] + array[j] == tsum)break;
		}
		vector<int>res;
		if (i < j) {
			res.push_back(array[i]);
			res.push_back(array[j]);
		}
		return res;
	}
};

  最后再举一个用到这个方法思路的题目，大家可以自行思考。给定一个包含 n 个整数的数组 nums，判断 nums 中是否存在三个元素 a，b，c ，使得 a + b + c = 0 ？找出所有满足条件且不重复的三元组。注意：答案中不可以包含重复的三元组。