氪金带东（树的直径）

问题描述

实验室里原先有一台电脑(编号为1)，最近氪金带师咕咕东又为实验室购置了N-1台电脑，编号为2到N。每台电脑都用网线连接到一台先前安装的电脑上。但是咕咕东担心网速太慢，他希望知道第i台电脑到其他电脑的最大网线长度，但是可怜的咕咕东在不久前刚刚遭受了宇宙射线的降智打击，请你帮帮他。
在这里插入图片描述
提示: 样例输入对应这个图，从这个图中你可以看出，距离1号电脑最远的电脑是4号电脑，他们之间的距离是3。 4号电脑与5号电脑都是距离2号电脑最远的点，故其答案是2。5号电脑距离3号电脑最远，故对于3号电脑来说它的答案是3。同样的我们可以计算出4号电脑和5号电脑的答案是4.

Input

输入文件包含多组测试数据。对于每组测试数据，第一行一个整数N (N<=10000)，接下来有N-1行，每一行两个数，对于第i行的两个数，它们表示与i号电脑连接的电脑编号以及它们之间网线的长度。网线的总长度不会超过10^9，每个数之间用一个空格隔开。

Output

对于每组测试数据输出N行，第i行表示i号电脑的答案 (1<=i<=N).

Sample input

Sample output

解题思路

思路

首先根据输入说明，我们可以发现这是一个树结构，我们需要找到每一个点到其他点的最大距离。暴力肯定会超时。我们知道与树上一个点距离最远的点肯定会落在树的直径的一端（证明见下方步骤1的证明）。因此这个题需要用到树的直径。

树的直径

求解方法

从任意一点 $v_1$ 出发，进行一次BFS（或DFS），找到与它距离最远的点 $v_2$ ， $v_2$ 必定是树直径的端点。
从 $v_2$ 出发，进行一次BFS（或DFS），找到距离它最远的点 $v_3$ ，则 $v_3$ 必定是另一端。即从 $v_2$ 出发到 $v_3$ 经过到路径就是树的直径。

时间复杂度为 $O(n)$ 。

证明

符号说明：

$(i,j)$ 表示从 $i$ 到 $j$ 的一条路径。
$dis[i,j]$ 表示从 $i$ 到 $j$ 的路径的长度。

证明过程：

假设树的直径两个端点是 $v_2，v_3$ 。我们从 $v_2$ 出发开始BFS（或DFS），找到的距离最远的端点，必定是 $v_3$ 。否则 $(v_2,v_3)$ 就不是直径了，会有更长的直径。则求解方法中的步骤2正确。

对于步骤1，使用反证法，我们找到任意一点 $v_1$ ，通过BFS（或DFS）找到的最远的点是 $v_4$ ，假设 $v_4$ 不是直径的端点，直径是 $(v_2,v_3)$ 。则 $(v_1,v_4)$ 与 $(v_2,v_3)$ 可能相交，也可能不相交。

如果相交，设交点为 $v_5$ ，如下图所示：

由于 $v_4$ 是我们从 $v_1$ 开始搜索，找到的最远的点，也就是说， $dis[v_1,v_4]>dis[v_1,v_2]$ 。那么 $dis[v_5,v_4]>dis[v_5,v_2]$ ，则 $dis[v_2,v_3]<dis[v_4,v_3]$ ，那么 $(v_2,v_3)$ 不是直径，与假设不符合。
如果不相交，假设 $v_5$ 是 $(v_1,v_4)$ 上的任意一点， $v_6$ 是 $(v_2,v_3)$ 上的任意一点， $v_5,v_6$ 必定相连（树上任意两点都联通）。如下图所示：

与相交证明方法类似，由于 $v_4$ 是我们从 $v_1$ 开始搜索，找到的最远的点，也就是说， $dis[v_1,v_4]>dis[v_1,v_2]$ ，那么 $dis[v_5,v_4]>dis[v_5,v_2]$ ，易知 $dis[v_5,v_6]>0$ ，那么 $dis[v_5,v_4]+dis[v_5,v_6]>dis[v_5,v_2]-dis[v_5,v_6]$ ，即 $dis[v_4,v_6]>dis[v_2,v_6]$ ，所以 $dis[v_3,v_4]>dis[v_2,v_3]$ ，此时 $(v_2,v_3)$ 不是直径，与假设不符合。

上述两种情况都否定了假设，说明 $v_4$ 是直径的一端，求解方法中的步骤1正确。

树的直径在本题中的应用

那么这个题是求得直径后，所有点分别计算距离直径两端点的距离，然后取最大值吗？

理论上是这样的，但是这样对每个点进行一次搜索，时间复杂度太大，我们逆向想一想，不妨从直径两个端点开始搜索，记录到达所有端点的距离，使用 $dis1[i]$ 记录一个端点到其他点的距离，用 $dis2[i]$ 记录另一个端点到其他点的距离，然后对一个特定的点 $i$ ，我们取 $max(dis1[i],dis2[i])$ 即可。这样就只搜索了两个点而不是n-2个点。

坑点

注意是多组数据
使用STL可能会超时
没有用vis数组的用上vis，数据可能含有网线长度为0的情况

完整代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <climits>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
using namespace std;

const int maxn=10000+1;
struct node
{
    int w;
    int to;
    int next;
};
node edge[maxn*2];
int head[maxn],dis[maxn],mindis[maxn],n,cnt,knot,knot1,knot2,sum;
bool vis[maxn];
void add(int x,int y,int w)
{
    cnt++;
    edge[cnt].to=y;
    edge[cnt].w=w;
    edge[cnt].next=head[x];
    head[x]=cnt;
}
void bfs(int start)
{
    queue<int> q;
    memset(dis,0,sizeof(dis));
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    while(!q.empty()) q.pop();

    vis[start]=true;
    q.push(start);
    knot=start;
    sum=0;

    while(!q.empty())
    {
        int temp=q.front(); q.pop();
        for (int i=head[temp]; i; i=edge[i].next)
        {
            if(!vis[edge[i].to])
            {
                dis[edge[i].to]=dis[temp]+edge[i].w;
                vis[edge[i].to]=true;
                q.push(edge[i].to);
                if(sum<dis[edge[i].to])//找到最远的点
                {
                    sum=dis[edge[i].to];
                    knot=edge[i].to;
                }
            }
        }
    }
}
int getint()
{
    int x=0,s=1;
    char ch=' ';
    while(ch<'0' || ch>'9')
    {
        ch=getchar();
        if(ch=='-') s=-1;
    }
    while(ch>='0' && ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*s;
}
int main()
{
    while(scanf("%d",&n)==1)
    {
        for (int i=1; i<=n; i++) head[i]=0;
        cnt=0;
        for (int i=2; i<=n; i++)
        {
            int x=getint(),y=getint();
            add(i,x,y); add(x,i,y);
        }
        bfs(1);
        //knot1=knot;
        bfs(knot);
        //knot2=knot;
        //此时knot1,knot2是直径的两端
        for (int i=1; i<=n; i++)
            mindis[i]=dis[i];
        bfs(knot);
        for (int i=1; i<=n; i++)
            printf("%d\n",max(mindis[i],dis[i]));
    }
    return 0;
}

参考博客

证明过程参考的这篇博客：https://blog.csdn.net/forever_dreams/article/details/81051578

龙征天

发布了32 篇原创文章 · 获赞 24 · 访问量 2226

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