小白谈计算机图形学（四）二维三维图形变换—1

窗口与视图

• 窗口：：在计算机图形学中，将在用户坐标系中需要进行观 察和处理的一个坐标区域称为窗口(Window)。即用户在 用户域中指定的任意区域W。 比如下图可以是屏幕上的一个窗口，窗口里的位置都是相对不变的。
  
• 视图：将窗口映射到显示设备上的坐标区域称为视图区 (Viewport)，视图区可以在屏幕上随意改变位置，如下图中的京香照片。

二维图形的几何变换

平移变换

$T_x,T_y$为平移矢量
$\left\{ \begin{aligned} & x'=x+T_x\\ &y'=y+T_y \end{aligned} \right.$

比例变换

$S_x,S_y$为比例系数
$\left\{ \begin{aligned} & x'=xS_x\\ &y'=yS_y \end{aligned} \right.$

旋转变换

$\alpha$是 $p$点的原始角度位置与水平线的夹角， $\theta$是旋转角

$\left\{ \begin{aligned} & x'=xcos\theta-ysin\theta\\ &y'=ysin\theta+ycos\theta \end{aligned} \right.$

二维图形变换的矩阵表示

• 图形变换就是要变换图形的顶点坐标，同时保持图形的原拓扑关系不变。
• 二维图形可看成是一个点集，点的坐标可用行向量 $(x,y)$或列向量表示 ，图形点集可表示成 $m*2$或 $2*m$ ，图形的变换 $\Rightarrow$点的变换。

三种变换

• 平移(Translation)变换
  $[x',y']=[x,y]+[T_x,T_y]$

设 $T=[T_x,T_y]$,则 $p'=p+T$

• 比例(Scale)变换
  $\begin{gathered} [x',y']=[x,y]\begin{bmatrix} S_x & 0 \\ 0 & S_y \end{bmatrix} \quad \end{gathered}$
  设S= $\begin{gathered} [x',y']=[x,y]\begin{bmatrix} S_x & 0 \\ 0 & S_y \end{bmatrix} \end{gathered}$,则 $p'=p*S$。
• 旋转(Rotate)变换
  $\begin{gathered} [x',y']=[x,y]\begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \quad \end{gathered}$

齐次坐标变换

• 定义:用n+1维的向量表示一个 n 维向量的方法
• 如:n维向量 $(p_1,p_2,...,p_n)$表示为 $(hp_1,hp_2,...,hp_n,h)$，其中h称为哑坐标,当 $h=1$时称为 “规格化坐标” ,前 $n$个坐标就是普通坐标系下的 $n$维坐标。
• 使用原因;对于图形来说，没有实质性的差别，但是却给后面的矩阵运算提供了可行性和方便性。

原二维线性变换

将 $x'=a_1x+b_1y+c_1与y'=a_2x+b_2y+c_2$改写成:
$\begin{gathered} [x',y']=[x,y,1]\begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \\c_1&c_2\end{bmatrix} \quad \end{gathered}$

齐次坐标法

$\begin{gathered} [x',y']=[x,y,1]\begin{bmatrix} a_1 & a_2 &0\\ b_1 & b_2 &0\\c_1&c_2&1\end{bmatrix} \quad \end{gathered}$

• 平移(Translation)变换
  $\begin{gathered} [x',y']=[x,y,1]\begin{bmatrix} 1 & 0 &0\\ 0 & 1 &0\\T_x&T_y&1\end{bmatrix} \quad \end{gathered}$
• 比例(Scale)变换
  $S_x=S_y$均匀比例变换, $S_x\not=S_y$非均匀比例变换
  $\begin{gathered} [x',y']=[x,y,1]\begin{bmatrix} S_x & 0 &0\\ 0 & S_y &0\\0&0&1\end{bmatrix} \quad \end{gathered}$
  整体比例变换时,若 $s>1$,整体缩小;若 $0<s<1$, 整体放大;若 $s<0$,发生关于原点的对称变换。
  $\begin{gathered} [x',y']=[x,y,1]\begin{bmatrix} 1 & 0 &0\\ 0 & 1 &0\\0&0&s\end{bmatrix} \quad \end{gathered}$
• 旋转(Rotate)变换
  顺时针：
  $\begin{gathered} [x',y']=[x,y,1]\begin{bmatrix} cos\alpha & -sin\alpha &0\\ sin\alpha & cos\alpha &0\\0&0&1\end{bmatrix} \quad \end{gathered}$
  逆时针：
  $\begin{gathered} [x',y']=[x,y,1]\begin{bmatrix} cos\alpha & sin\alpha &0\\ -sin\alpha & cos\alpha &0\\0&0&1\end{bmatrix} \quad \end{gathered}$
• 镜像对称
  

对称方式	变换矩阵	新坐标点
对称于y轴	$\begin{gathered}\begin{bmatrix}-1&0&0\\0& 1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\quad\end{gathered}$	$x'=-x\\y'=y$
对称于x轴	$\begin{gathered}\begin{bmatrix}1 & 0 &0\\ 0 & -1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\quad\end{gathered}$	$x'=x\\y'=-y$
对称于原点	$\begin{gathered}\begin{bmatrix}-1 & 0 &0\\ 0 & -1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\quad\end{gathered}$	$x'=-x\\y'=-y$
对称于直线y=x	$\begin{gathered}\begin{bmatrix}0 & 1 &0\\ 1 & 0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\quad\end{gathered}$	$x'=y\\y'=x$
对称于直线y=-x	$\begin{gathered}\begin{bmatrix}0 & -1 &0\\ -1 & 0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\quad\end{gathered}$	$x'=-y\\y'=-x$

• 错切变换:哪个错切变哪个
  $\begin{gathered} \begin{bmatrix} 1 & b &0\\ c&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \quad\end{gathered}$

沿x轴方向关于y错切: $x=x+cy$

沿y轴方向关于x错切: $y=y+bx$

复合变换

作一次以上的几何变换时，可以将复杂变换转化成变换矩阵相乘。 不可以交换律可以结合律。平移可交换律。

例题：任意直线的对称变换

以沿x轴平移使之过原点再旋转使直线与x轴重合为例

$1.\alpha\not=90^{\circ}时$

• 平移： 沿 $x$轴平移 $L$使之过原点,变换矩阵为: $T_1=\begin{gathered} \begin{bmatrix} 1 & 0 &0\\ 0&1&0\\ \frac{C}{A}&0&1 \end{bmatrix} \quad\end{gathered}$
• 旋转：顺时针旋转 $\alpha$角使 $L$与 $x$轴重合,变换矩阵： $R_1=\begin{gathered} \begin{bmatrix} cos\alpha & -sin\alpha &0\\ sin\alpha & cos\alpha &0\\0&0&1 \end{bmatrix} \quad\end{gathered}$
• 对称：沿 $x$轴对称,变换矩阵为： $S_1=\begin{gathered}\begin{bmatrix}1 & 0 &0\\ 0 & -1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\quad\end{gathered}$
• 反旋转：逆时针转 $\alpha$,使 $L$返回原位置,变换矩阵为: $R_1=\begin{gathered} \begin{bmatrix} cos\alpha & sin\alpha &0\\ -sin\alpha & cos\alpha &0\\0&0&1 \end{bmatrix} \quad\end{gathered}$
• 反平移：沿 $x$轴平移到原 $L$的初始位置，变换矩阵为: $T_2=\begin{gathered} \begin{bmatrix} 1 & 0 &0\\ 0&1&0\\ -\frac{C}{A}&0&1 \end{bmatrix} \quad\end{gathered}$
• 则总变换矩阵为: $C_H=\begin{gathered} \begin{bmatrix} cos2\alpha & sin2\alpha &0\\ sin2\alpha&-cos2\alpha&0\\ -\frac{C}{A}(cos2\alpha-1)&\frac{C}{A}sin2\alpha&1 \end{bmatrix} \quad\end{gathered}$
• 用直线的 $A,B,C$三个参数替换总变换矩阵中的 $\alpha$,有如下关系:
  $\left\{ \begin{aligned} & sin2\alpha=\frac{2AB}{A^2+B^2}\\ &cos2\alpha=\frac{B^2-A^2}{A^2+B^2} \end{aligned} \right.$
  新的总变换矩阵为： $C_H=\begin{gathered} \begin{bmatrix} \frac{B^2-A^2}{A^2+B^2} & \frac{2AB}{A^2+B^2} &0\\ \frac{2AB}{A^2+B^2}&\frac{A^2-B^2}{A^2+B^2}&0\\ -\frac{2AC}{A^2+B^2}&\frac{2BC}{A^2+B^2}&1 \end{bmatrix} \quad\end{gathered}$

$2.\alpha=90^{\circ}时$

求出方程，代入仍满足总变换矩阵,即上式为通式。

小结

• 比例、旋转、错切、对称等变换 $(a,b,c,d)$
• 平移变换 $(l,m)$
• 透视变换,产生投影( $p,q$,三维才有意义)
• 整体的比例变换( $s$,全比例变换)它使整个图形沿 $x、y$轴作等比例均匀变换
  

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参考文献：
齐次坐标变化