有趣的素数（附C++源码）

前言

素数问题可能是数论中最引人入胜的课题了。最著名的莫如“哥德巴赫猜想”。几乎小学生都可以明白它的意思。但是穷尽世界上最聪明的脑袋，迄今为止都无人能够证明它，也无法举出反例。本文试图运用计算机去探索一些有趣的素数问题。例如，计算指定整数 $n$ 以内的素数、素因子分解、在 $n$ 以内验证“哥德巴赫猜想”等等。这里， $n$ 可以很大，例如几千万到几十亿。当然，这跟无穷比起来，又是非常渺小了。本文并不涉及大整数的内容，而仅仅是普通的PC机和普通的算法及语言能够处理的数据范围。只是作一些有趣的探索罢了。权当娱乐。本文讨论到的问题，都用C++实现，并附上所有源码，供大家探讨。

筛法求 $n$ 以内的素数

筛法即埃拉托斯特尼（ $Eratosthenes$，即计算出地球周长的那位古希腊数学家）筛法。方法如下：

1. 将自然数从小到大顺序排列。
2. 1不是素数，划去。
3. 2是素数，保留。划去所有2的倍数。
4. 3是素数，保留。划去所有3的倍数。
5. 循环往复，直到指定的整数 $n$。

这是最古老的方法，也是经典的方法。效率不算高，但胜在简单易懂。编程的时候，稍微作了改动。算法如下：

1. 清空素数数组primeNums。
2. 从 $i=2$ 开始循环执行，直到 $n$。
3. 如果 $i$ 在素数数组primeNums中找到素因子，说明 $i$ 不是素数， $i$ 自增1，执行下一步循环。
4. 如果遍历素数数组primeNums都找不到素因子，说明 $i$ 是新的素数，将 $i$ 加入素数数组primeNums中。 $i$ 自增1，执行下一步循环。
5. 结束。这时候，素数数组primeNums中就保存了不大于n的所有素数。

观察以上算法，可以发现，其实2之后的偶数肯定不是素数，可以直接跳过。将算法作一个小小的改进，从3开始搜索，每次加2。提高一下效率。如下：

1. 清空素数数组primeNums。
2. 将2加入素数数组primeNums。
3. 从 $i=3$ 开始循环执行，直到 $n$。
4. 如果 $i$ 在素数数组primeNums中找到素因子，说明 $i$ 不是素数， $i$ 自增2，执行下一步循环。
5. 如果遍历素数数组primeNums都找不到素因子，说明 $i$ 是新的素数，将 $i$ 加入素数数组primeNums中。 $i$ 自增2，执行下一步循环。
6. 结束。这时候，素数数组primeNums中就保存了不大于 $n$ 的所有素数。

算法的时间复杂度为 $O(mn)$，空间复杂度为 $O(m)$。这里 $m$ 是 $n$ 以内素数的数量。

几个有趣的想法

现在，我们有了 $n$ 以内所有的素数。看着这些素数，不禁萌生几个有趣的想法。

1. 素数之间的间隔。有没有最大间隔？即间隔是无限大还是有限的。
2. 利用这个素数表作素因子分解。
3. 在 $n$ 之内验证“哥德巴赫猜想“。

在程序中，做了几个小实验，分别探讨以上问题。详细参见主程序。许多问题或者猜想，都可以通过所得的素数表，编程予以验证。

程序说明

程序分三部分。第一是素数类的定义，放在头文件：SievePrime.h中；第二是类的实现，放在文件：SievePrime.cpp中；第三是主程序，主要是调用类的各个方法，输出实验结果。放在文件main.cpp中。
程序的核心是素数类的定义及其实现。素数类中，定义了字段 $num$ 即对应于 $n$；容器 $primeNums$ 用于存储不大于 $num$ 的素数；方法 $genPrimeNums()$ 用筛法生成不大于 $num$ 的素数存储于容器 $primeNums$ 中；其它接口的方法和函数，定义了参数 $num$ 的读取和设置、素数的输出、素数的判断、输出素因式分解、输出“哥德巴赫”分解式等等。详细参见源代码。

程序全部在 $Windows 10+CodeBlocks+MinGW$环境下，编译运行。由于这是与平台无关的，可以很容易移植到 $Linux$等其它操作系统。

下面是源代码，给大家分享：

头文件SievePrime.h

#ifndef SIEVEPRIME_H
#define SIEVEPRIME_H
#include <vector>
class SievePrime
{
public:
        SievePrime( unsigned n ) : num( n ) { genPrimeNums(); }
        virtual ~SievePrime() { std::vector<unsigned>().swap(primeNums); }
        unsigned getNum() { return num; }
        void setNum( unsigned n ) { num=n; genPrimeNums(); return; }
        void printPrimeNums( unsigned lineSize ); //print prime numbers to screen
        int isPrimeNumber(unsigned n); //判断参数n是不是num以内的素数。返回0：不是素数；1：是素数；-1：超范围。
        int printGoldbachNums(unsigned n); //对给定参数n,作哥德巴赫分解--分解为两个素数之和。返回1：分解成功；返回0：分解不成功；返回-1：超范围。
        void printFactors(unsigned n); //对给定参数n，利用素数表作因式分解。
        unsigned maxGap(); //计算素数表中相邻素数的最大间隔
 private:
        unsigned num;
        std::vector<unsigned> primeNums;
        void genPrimeNums();
        
 };
 #endif // SIVEVPRIME_H

类的实现，SievePrime.cpp：

#include <iostream>
#include "SievePrime.h"

void SievePrime::genPrimeNums()  //生成num以内的素数，加入素数组。
{
    bool isPrimeNum=true;

    std::vector<unsigned>().swap(primeNums); //清空

    primeNums.push_back(2); // 首先加入2
    for (unsigned n=3; n<=num; n+=2) { //从3开始搜索，步长为2，绕开所有偶数。
        isPrimeNum=true;   // 假设n是素数
        for (size_t i=0; i!=primeNums.size(); i++) {
            if ( (n % primeNums[i]) == 0 ) {  //找到素因子，说明n不是素数，终止循环，不再搜索。
                isPrimeNum=false;
                break;
            }
        }
        if ( isPrimeNum ) { primeNums.push_back(n); } //遍历素数组都找不到素因子，说明n是新的素数。将n加入素数组。
    }
    return;
}

void SievePrime::printPrimeNums( unsigned lineSize )
{
    unsigned lineM=0; // 每行输出介于lineM和lineM+lineSize之间的素数

    for ( size_t i=0; i!=primeNums.size(); i++ ) {
        while ( primeNums[i] > lineM ) {  //判断是否要新起一行（因为可能连续出现空行的情况，所以用while循环判断而不用if单步判断）
            std::cout<<std::endl<<"("<<lineM<<" , "<<lineM+lineSize<<"]: "; //新起一行，输出列首
            lineM+=lineSize;
        }
        std::cout<<primeNums[i]<<", "; //输出素数
    }

    // 继续输出空表尾
    while ( num > lineM ) {
        std::cout<<std::endl<<"("<<lineM<<" , ";
        if (lineM+lineSize<=num) {
                std::cout<<lineM+lineSize<<"]: "; //新起一行，输出列首
        }
        else {
                std::cout<<num<<"]: ";
        }
        lineM+=lineSize;
    }

    std::cout<<std::endl<<" ... ... "<<std::endl;
    return;
}

int SievePrime::isPrimeNumber(unsigned n) //判断参数n是不是num以内的素数。返回0：不是素数；1：是素数；-1：超范围。
{
    if( n > num ) { return -1; } //超范围

    for (size_t i=0; i!=primeNums.size(); i++) {
        if ( n==primeNums[i] ) { return 1; }
    }

    return 0;
}

int SievePrime::printGoldbachNums(unsigned n) //对给定参数n,作哥德巴赫分解--分解为两个素数之和。返回1：分解成功，输出分解式；返回0：分解不成功；返回-1：超范围。
{
    unsigned n1, n2;
    int returnValue=-1; // 返回1：分解成功；返回0：分解不成功；返回-1：超范围。

    std::cout<<std::endl<<n;

    if( n > primeNums[primeNums.size()-1] + primeNums[primeNums.size()-1] ) {
            //std::cout<<"= -. + -. ";
            return -1;
    } //超范围，返回-1。

    for ( size_t i=0; i!=primeNums.size(); i++ ) {
        n1=primeNums[i];
        n2=n - n1;
        if ( n2>=n1 ) {
            returnValue=isPrimeNumber(n2);
            if ( returnValue==1 ) { // 分解成功，输出分解式
                std::cout<<"="<<n1<<"+"<<n2;
            }
        } else { break; } // 当n2<n1时，两个加数互换，和前面的分解式重复，故略去。不再计算，终止循环。
    }

    return returnValue;
}

void SievePrime::printFactors(unsigned n) //对给定参数n，作素因数分解。
{
    unsigned m=1; //1表示超范围，不能在num以内作素因数分解

    if ( n<=1 )  { std::cout<<"-.-";} //超范围，不能在num以内作素因数分解
    else if (isPrimeNumber(n)==1) { //如果参数是素数，输出它，素因数分解结束
        std::cout<<n;
        } else {
            for ( size_t i=0; i!=primeNums.size(); i++ ) { //如果参数不是素数，继续在num以内找素因子
                if ( n % primeNums[i] == 0 ) { //找到num以内的素因子，输出它，求出商m，对商递归寻找素因子
                    m=n/primeNums[i];
                    std::cout<<primeNums[i]<<"x";
                    break;
                }
            }
            printFactors(m); // 递归寻找素因子
        }
    return;
}

unsigned SievePrime::maxGap()
{
    unsigned mGap=1;

    for ( size_t i=0; i!=primeNums.size()-1;i++ ) {
        if ( primeNums[i+1]-primeNums[i] > mGap ) {
            mGap=primeNums[i+1]-primeNums[i];
        }
    }

    return mGap;
}

主程序，main.cpp

#include <iostream>
#include "SievePrime.h"

int main()
{
    unsigned n=500;
    SievePrime pns(n); //生成n以内素数表


/*  测试一：输出n以内素数表 */
    unsigned m=100; //输出的区间段长度
    std::cout << "------------------------------- 测试一 -------------------------------"<< std::endl;
    std::cout << std::endl << n << " 以内的素数，"<<"以"<<m<<"为一区间段，列表如下： "<< std::endl; // 输出n以内素数表到屏幕
    pns.printPrimeNums(m);
    std::cout << std::endl << n << " 以内的素数间最大间隔等于："<<pns.maxGap()<<std::endl;
    std::cout << std::endl << "----------------------------------------------------------------------" <<std::endl;

/*  测试二：检验n以内整数是否素数 */
    std::cout << std::endl;
    std::cout << "------------------------------- 测试二 -------------------------------" << std::endl;
    std::cout << std::endl << "用" << n << "以内的素数表，检验" << n+10 << "以内整数是否素数（o表示是素数，x表示不是素数，-表示超范围）"<< std::endl;
    for ( unsigned i=1; i<=n+10; i++ ) {
        std::cout<<i;
        if ( pns.isPrimeNumber(i)==1 ) { std::cout<<"o  "; }
        else if ( pns.isPrimeNumber(i)==0 ) { std::cout<<"x  "; }
            else { std::cout<<"-  "; }
        if ( i % 30 == 0 ) std::cout<<std::endl;
    }
    std::cout<<std::endl<<"----------------------------------------------------------------------"<<std::endl;

/*  测试三：检验m=2n以内的”哥德巴赫猜想“：任何大偶数（>=4）可以分解成两个素数的和 */
    std::cout<<std::endl;
    std::cout<<"------------------------------- 测试三 -------------------------------"<<std::endl;
    std::cout<<std::endl<<"用"<<n<<"以内的素数表，检验"<< n+n <<"以内的“哥德巴赫猜想”（任何大偶数可以分解成两个素数的和）："<<std::endl;
    for ( unsigned i=4; i<=n+n; i+=2 ) {
        pns.printGoldbachNums(i);
    }
    std::cout<<std::endl<<"----------------------------------------------------------------------"<<std::endl;

/* 测试四：利用素数表求指定参数的素因数分解 */
    unsigned xL=1000;
    std::cout<<std::endl;
    std::cout<<"------------------------------- 测试四 -------------------------------"<<std::endl;
    std::cout<<std::endl<<"用"<<n<<"以内的素数表，计算"<<xL<<"之内的素因数分解"<<std::endl;
    for (unsigned i=2; i<=xL; i++) {
        std::cout<<std::endl<<i<<"=";
        pns.printFactors(i);
    }
    std::cout<<std::endl<<"----------------------------------------------------------------------"<<std::endl;
    return 0;
}

实验结果及问题探讨

1. 素数的稀疏程度问题。素数无疑是无穷多的。但随着n的增加，素数应该是越来越稀少的。我曾经将n设置到1000万，以100为区间长度，输出每隔100个整数的素数。程序运行了70多分钟结束。竟然没有发现空行的情况。也即是说，在1000万以内，每隔100做成一组，里面都有素数（注意：这并不是说，1000万以内素数间的最大距离不超过100。）。素数最多的区间在0到100，是25个，之后都没有超过它（至少在1000万以内是这样的）。
2. 然后是孪生素数问题，即使到1000万的最后100个整数，也可以轻而易举的找出两对孪生素数：（9999929, 9999931）和（9999971, 9999973）。总体来说，素数是越来越稀少的，但稀疏程度下降得很慢，并且时有反复。没什么明显的规律。
3. 利用所得的 $n$ 以内素数表，对整数进行素因子分解。任何合数，都有唯一的素因子分解式。并且，不是合数越大需要用到的素数表会越大。例如， $2^n$，无论 $n$ 多大，只要用到2这一个素因数。素因数分解及其快速计算，涉及到密码学问题。多大的素数表才是足够用的呢？
4. 利用所得的 $n$ 以内素数表，在 $2n$ 以内验证“哥德巴赫猜想”。当然，没有奇迹发生，所有 $2n$ 范围内的大于2的偶数都可以表示成两个素数的和（除了接近 $2n$ 的几个数外，因为其分解超出范围外----即其两个加数中至少有一个大于表内最大的素数）。而且，这种组合不止一种。程序输出了所有可能的组合。

本文只是抛砖引玉。有了素数表，可以引出很多有趣的问题。也许，素数就像天上的星星，隐藏着无穷的秘密。仰望星空，无限遐想 $......$

附：以下是针对 $n=500$，的实验结果。

/*
------------------------------- 测试一 -------------------------------

500 以内的素数，以100为一区间段，列表如下： 

(0 , 100]: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 
(100 , 200]: 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 
(200 , 300]: 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 
(300 , 400]: 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 
(400 , 500]: 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 
 ... ... 

500 以内的素数间最大间隔等于：14

----------------------------------------------------------------------

------------------------------- 测试二 -------------------------------

用500以内的素数表，检验510以内整数是否素数（o表示是素数，x表示不是素数，-表示超范围）
1x  2o  3o  4x  5o  6x  7o  8x  9x  10x  11o  12x  13o  14x  15x  16x  17o  18x  19o  20x  21x  22x  23o  24x  25x  26x  27x  28x  29o  30x  
31o  32x  33x  34x  35x  36x  37o  38x  39x  40x  41o  42x  43o  44x  45x  46x  47o  48x  49x  50x  51x  52x  53o  54x  55x  56x  57x  58x  59o  60x  
61o  62x  63x  64x  65x  66x  67o  68x  69x  70x  71o  72x  73o  74x  75x  76x  77x  78x  79o  80x  81x  82x  83o  84x  85x  86x  87x  88x  89o  90x  
91x  92x  93x  94x  95x  96x  97o  98x  99x  100x  101o  102x  103o  104x  105x  106x  107o  108x  109o  110x  111x  112x  113o  114x  115x  116x  117x  118x  119x  120x  
121x  122x  123x  124x  125x  126x  127o  128x  129x  130x  131o  132x  133x  134x  135x  136x  137o  138x  139o  140x  141x  142x  143x  144x  145x  146x  147x  148x  149o  150x  
151o  152x  153x  154x  155x  156x  157o  158x  159x  160x  161x  162x  163o  164x  165x  166x  167o  168x  169x  170x  171x  172x  173o  174x  175x  176x  177x  178x  179o  180x  
181o  182x  183x  184x  185x  186x  187x  188x  189x  190x  191o  192x  193o  194x  195x  196x  197o  198x  199o  200x  201x  202x  203x  204x  205x  206x  207x  208x  209x  210x  
211o  212x  213x  214x  215x  216x  217x  218x  219x  220x  221x  222x  223o  224x  225x  226x  227o  228x  229o  230x  231x  232x  233o  234x  235x  236x  237x  238x  239o  240x  
241o  242x  243x  244x  245x  246x  247x  248x  249x  250x  251o  252x  253x  254x  255x  256x  257o  258x  259x  260x  261x  262x  263o  264x  265x  266x  267x  268x  269o  270x  
271o  272x  273x  274x  275x  276x  277o  278x  279x  280x  281o  282x  283o  284x  285x  286x  287x  288x  289x  290x  291x  292x  293o  294x  295x  296x  297x  298x  299x  300x  
301x  302x  303x  304x  305x  306x  307o  308x  309x  310x  311o  312x  313o  314x  315x  316x  317o  318x  319x  320x  321x  322x  323x  324x  325x  326x  327x  328x  329x  330x  
331o  332x  333x  334x  335x  336x  337o  338x  339x  340x  341x  342x  343x  344x  345x  346x  347o  348x  349o  350x  351x  352x  353o  354x  355x  356x  357x  358x  359o  360x  
361x  362x  363x  364x  365x  366x  367o  368x  369x  370x  371x  372x  373o  374x  375x  376x  377x  378x  379o  380x  381x  382x  383o  384x  385x  386x  387x  388x  389o  390x  
391x  392x  393x  394x  395x  396x  397o  398x  399x  400x  401o  402x  403x  404x  405x  406x  407x  408x  409o  410x  411x  412x  413x  414x  415x  416x  417x  418x  419o  420x  
421o  422x  423x  424x  425x  426x  427x  428x  429x  430x  431o  432x  433o  434x  435x  436x  437x  438x  439o  440x  441x  442x  443o  444x  445x  446x  447x  448x  449o  450x  
451x  452x  453x  454x  455x  456x  457o  458x  459x  460x  461o  462x  463o  464x  465x  466x  467o  468x  469x  470x  471x  472x  473x  474x  475x  476x  477x  478x  479o  480x  
481x  482x  483x  484x  485x  486x  487o  488x  489x  490x  491o  492x  493x  494x  495x  496x  497x  498x  499o  500x  501-  502-  503-  504-  505-  506-  507-  508-  509-  510-  

----------------------------------------------------------------------

------------------------------- 测试三 -------------------------------

用500以内的素数表，检验1000以内的“哥德巴赫猜想”（任何大偶数可以分解成两个素数的和）：

4=2+2
6=3+3
8=3+5
10=3+7=5+5
12=5+7
14=3+11=7+7
16=3+13=5+11
18=5+13=7+11
20=3+17=7+13
22=3+19=5+17=11+11
24=5+19=7+17=11+13
26=3+23=7+19=13+13
28=5+23=11+17
30=7+23=11+19=13+17
32=3+29=13+19
34=3+31=5+29=11+23=17+17
36=5+31=7+29=13+23=17+19
38=7+31=19+19
40=3+37=11+29=17+23
42=5+37=11+31=13+29=19+23
44=3+41=7+37=13+31
46=3+43=5+41=17+29=23+23
48=5+43=7+41=11+37=17+31=19+29
50=3+47=7+43=13+37=19+31
52=5+47=11+41=23+29
54=7+47=11+43=13+41=17+37=23+31
56=3+53=13+43=19+37
58=5+53=11+47=17+41=29+29
60=7+53=13+47=17+43=19+41=23+37=29+31
62=3+59=19+43=31+31
64=3+61=5+59=11+53=17+47=23+41
66=5+61=7+59=13+53=19+47=23+43=29+37
68=7+61=31+37
70=3+67=11+59=17+53=23+47=29+41
72=5+67=11+61=13+59=19+53=29+43=31+41
74=3+71=7+67=13+61=31+43=37+37
76=3+73=5+71=17+59=23+53=29+47
78=5+73=7+71=11+67=17+61=19+59=31+47=37+41
80=7+73=13+67=19+61=37+43
82=3+79=11+71=23+59=29+53=41+41
84=5+79=11+73=13+71=17+67=23+61=31+53=37+47=41+43
86=3+83=7+79=13+73=19+67=43+43
88=5+83=17+71=29+59=41+47
90=7+83=11+79=17+73=19+71=23+67=29+61=31+59=37+53=43+47
92=3+89=13+79=19+73=31+61
94=5+89=11+83=23+71=41+53=47+47
96=7+89=13+83=17+79=23+73=29+67=37+59=43+53
98=19+79=31+67=37+61
100=3+97=11+89=17+83=29+71=41+59=47+53
102=5+97=13+89=19+83=23+79=29+73=31+71=41+61=43+59
104=3+101=7+97=31+73=37+67=43+61
106=3+103=5+101=17+89=23+83=47+59=53+53
108=5+103=7+101=11+97=19+89=29+79=37+71=41+67=47+61
110=3+107=7+103=13+97=31+79=37+73=43+67
112=3+109=5+107=11+101=23+89=29+83=41+71=53+59
114=5+109=7+107=11+103=13+101=17+97=31+83=41+73=43+71=47+67=53+61
116=3+113=7+109=13+103=19+97=37+79=43+73
118=5+113=11+107=17+101=29+89=47+71=59+59
120=7+113=11+109=13+107=17+103=19+101=23+97=31+89=37+83=41+79=47+73=53+67=59+61
122=13+109=19+103=43+79=61+61
124=11+113=17+107=23+101=41+83=53+71
126=13+113=17+109=19+107=23+103=29+97=37+89=43+83=47+79=53+73=59+67
128=19+109=31+97=61+67
130=3+127=17+113=23+107=29+101=41+89=47+83=59+71
132=5+127=19+113=23+109=29+103=31+101=43+89=53+79=59+73=61+71
134=3+131=7+127=31+103=37+97=61+73=67+67
136=5+131=23+113=29+107=47+89=53+83
138=7+131=11+127=29+109=31+107=37+101=41+97=59+79=67+71
140=3+137=13+127=31+109=37+103=43+97=61+79=67+73
142=3+139=5+137=11+131=29+113=41+101=53+89=59+83=71+71
144=5+139=7+137=13+131=17+127=31+113=37+107=41+103=43+101=47+97=61+83=71+73
146=7+139=19+127=37+109=43+103=67+79=73+73
148=11+137=17+131=41+107=47+101=59+89
150=11+139=13+137=19+131=23+127=37+113=41+109=43+107=47+103=53+97=61+89=67+83=71+79
152=3+149=13+139=43+109=73+79
154=3+151=5+149=17+137=23+131=41+113=47+107=53+101=71+83
156=5+151=7+149=17+139=19+137=29+127=43+113=47+109=53+103=59+97=67+89=73+83
158=7+151=19+139=31+127=61+97=79+79
160=3+157=11+149=23+137=29+131=47+113=53+107=59+101=71+89
162=5+157=11+151=13+149=23+139=31+131=53+109=59+103=61+101=73+89=79+83
164=7+157=13+151=37+127=61+103=67+97
166=3+163=17+149=29+137=53+113=59+107=83+83
168=5+163=11+157=17+151=19+149=29+139=31+137=37+131=41+127=59+109=61+107=67+101=71+97=79+89
170=3+167=7+163=13+157=19+151=31+139=43+127=61+109=67+103=73+97
172=5+167=23+149=41+131=59+113=71+101=83+89
174=7+167=11+163=17+157=23+151=37+137=43+131=47+127=61+113=67+107=71+103=73+101
176=3+173=13+163=19+157=37+139=67+109=73+103=79+97
178=5+173=11+167=29+149=41+137=47+131=71+107=89+89
180=7+173=13+167=17+163=23+157=29+151=31+149=41+139=43+137=53+127=67+113=71+109=73+107=79+101=83+97
182=3+179=19+163=31+151=43+139=73+109=79+103
184=3+181=5+179=11+173=17+167=47+137=53+131=71+113=83+101
186=5+181=7+179=13+173=19+167=23+163=29+157=37+149=47+139=59+127=73+113=79+107=83+103=89+97
188=7+181=31+157=37+151=61+127=79+109
190=11+179=17+173=23+167=41+149=53+137=59+131=83+107=89+101
192=11+181=13+179=19+173=29+163=41+151=43+149=53+139=61+131=79+113=83+109=89+103
194=3+191=13+181=31+163=37+157=43+151=67+127=97+97
196=3+193=5+191=17+179=23+173=29+167=47+149=59+137=83+113=89+107
198=5+193=7+191=17+181=19+179=31+167=41+157=47+151=59+139=61+137=67+131=71+127=89+109=97+101
200=3+197=7+193=19+181=37+163=43+157=61+139=73+127=97+103
202=3+199=5+197=11+191=23+179=29+173=53+149=71+131=89+113=101+101
204=5+199=7+197=11+193=13+191=23+181=31+173=37+167=41+163=47+157=53+151=67+137=73+131=97+107=101+103
206=7+199=13+193=43+163=67+139=79+127=97+109=103+103
208=11+197=17+191=29+179=41+167=59+149=71+137=101+107
210=11+199=13+197=17+193=19+191=29+181=31+179=37+173=43+167=47+163=53+157=59+151=61+149=71+139=73+137=79+131=83+127=97+113=101+109=103+107
212=13+199=19+193=31+181=61+151=73+139=103+109
214=3+211=17+197=23+191=41+173=47+167=83+131=101+113=107+107
216=5+211=17+199=19+197=23+193=37+179=43+173=53+163=59+157=67+149=79+137=89+127=103+113=107+109
218=7+211=19+199=37+181=61+157=67+151=79+139=109+109
220=23+197=29+191=41+179=47+173=53+167=71+149=83+137=89+131=107+113
222=11+211=23+199=29+193=31+191=41+181=43+179=59+163=71+151=73+149=83+139=109+113
224=13+211=31+193=43+181=61+163=67+157=73+151=97+127
226=3+223=29+197=47+179=53+173=59+167=89+137=113+113
228=5+223=17+211=29+199=31+197=37+191=47+181=61+167=71+157=79+149=89+139=97+131=101+127
230=3+227=7+223=19+211=31+199=37+193=67+163=73+157=79+151=103+127
232=3+229=5+227=41+191=53+179=59+173=83+149=101+131
234=5+229=7+227=11+223=23+211=37+197=41+193=43+191=53+181=61+173=67+167=71+163=83+151=97+137=103+131=107+127
236=3+233=7+229=13+223=37+199=43+193=73+163=79+157=97+139=109+127
238=5+233=11+227=41+197=47+191=59+179=71+167=89+149=101+137=107+131
240=7+233=11+229=13+227=17+223=29+211=41+199=43+197=47+193=59+181=61+179=67+173=73+167=83+157=89+151=101+139=103+137=109+131=113+127
242=3+239=13+229=19+223=31+211=43+199=61+181=79+163=103+139
244=3+241=5+239=11+233=17+227=47+197=53+191=71+173=107+137=113+131
246=5+241=7+239=13+233=17+229=19+227=23+223=47+199=53+193=67+179=73+173=79+167=83+163=89+157=97+149=107+139=109+137
248=7+241=19+229=37+211=67+181=97+151=109+139
250=11+239=17+233=23+227=53+197=59+191=71+179=83+167=101+149=113+137
252=11+241=13+239=19+233=23+229=29+223=41+211=53+199=59+193=61+191=71+181=73+179=79+173=89+163=101+151=103+149=113+139
254=3+251=13+241=31+223=43+211=61+193=73+181=97+157=103+151=127+127
256=5+251=17+239=23+233=29+227=59+197=83+173=89+167=107+149
258=7+251=17+241=19+239=29+229=31+227=47+211=59+199=61+197=67+191=79+179=101+157=107+151=109+149=127+131
260=3+257=19+241=31+229=37+223=61+199=67+193=79+181=97+163=103+157=109+151
262=5+257=11+251=23+239=29+233=71+191=83+179=89+173=113+149=131+131
264=7+257=13+251=23+241=31+233=37+227=41+223=53+211=67+197=71+193=73+191=83+181=97+167=101+163=107+157=113+151=127+137
266=3+263=37+229=43+223=67+199=73+193=103+163=109+157=127+139
268=5+263=11+257=17+251=29+239=41+227=71+197=89+179=101+167=131+137
270=7+263=13+257=19+251=29+241=31+239=37+233=41+229=43+227=47+223=59+211=71+199=73+197=79+191=89+181=97+173=103+167=107+163=113+157=131+139
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726=227+499=239+487=263+463=269+457=277+449=283+443=293+433=307+419=317+409=337+389=347+379=353+373=359+367
728=229+499=241+487=271+457=307+421=331+397=349+379
730=239+491=251+479=263+467=269+461=281+449=311+419=347+383
732=233+499=241+491=269+463=271+461=283+449=293+439=311+421=313+419=331+401=349+383=353+379=359+373
734=271+463=277+457=313+421=337+397=367+367
736=257+479=269+467=293+443=317+419=347+389=353+383
738=239+499=251+487=271+467=277+461=281+457=307+431=317+421=337+401=349+389=359+379
740=241+499=277+463=283+457=307+433=331+409=367+373
742=251+491=263+479=281+461=293+449=311+431=353+389=359+383
744=257+487=277+467=281+463=283+461=311+433=313+431=347+397
746=283+463=307+439=313+433=337+409=349+397=367+379=373+373
748=257+491=269+479=281+467=317+431=347+401=359+389
750=251+499=263+487=271+479=283+467=293+457=307+443=311+439=317+433=331+419=349+401=353+397=367+383
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754=263+491=293+461=311+443=353+401
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758=271+487=337+421=349+409=379+379
760=269+491=281+479=293+467=311+449=317+443=359+401
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764=277+487=307+457=331+433=367+397
766=317+449=347+419=383+383
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774=283+491=307+467=311+463=313+461=317+457=331+443=353+421=373+401
776=277+499=313+463=337+439=367+409=379+397
778=311+467=317+461=347+431=359+419=389+389
780=281+499=293+487=313+467=317+463=331+449=337+443=347+433=349+431=359+421=379+401=383+397
782=283+499=349+433=373+409
784=293+491=317+467=353+431=383+401
786=307+479=337+449=347+439=353+433=367+419=389+397
788=331+457=349+439=367+421=379+409
790=311+479=347+443=359+431=389+401
792=293+499=313+479=331+461=349+443=353+439=359+433=373+419=383+409
794=307+487=331+463=337+457=373+421=397+397
796=317+479=347+449=353+443
798=307+491=311+487=331+467=337+461=349+449=359+439=367+431=379+419=389+409=397+401
800=313+487=337+463=367+433=379+421
802=311+491=353+449=359+443=383+419=401+401
804=313+491=317+487=337+467=347+457=373+431=383+421
806=307+499=349+457=367+439=373+433=397+409
808=317+491=347+461=359+449=389+419
810=311+499=331+479=347+463=349+461=353+457=367+443=379+431=389+421=401+409
812=313+499=349+463=373+439=379+433
814=347+467=353+461=383+431
816=317+499=337+479=349+467=353+463=359+457=367+449=373+443=383+433=397+419
818=331+487=379+439=397+421=409+409
820=353+467=359+461=389+431=401+419
822=331+491=359+463=373+449=379+443=383+439=389+433=401+421
824=337+487=367+457
826=347+479=359+467=383+443
828=337+491=349+479=367+461=379+449=389+439=397+431=409+419
830=331+499=367+463=373+457=397+433=409+421
832=353+479=383+449=389+443=401+431
834=347+487=367+467=373+461=401+433
836=337+499=349+487=373+463=379+457=397+439
838=347+491=359+479=389+449=419+419
840=349+491=353+487=373+467=379+461=383+457=397+443=401+439=409+431=419+421
842=379+463=409+433=421+421
844=353+491=383+461=401+443
846=347+499=359+487=367+479=379+467=383+463=389+457=397+449
848=349+499=409+439
850=359+491=383+467=389+461=401+449=419+431
852=353+499=373+479=389+463=409+443=419+433=421+431
854=367+487=397+457=421+433
856=389+467
858=359+499=367+491=379+479=397+461=401+457=409+449=419+439
860=373+487=397+463=421+439
862=383+479=401+461=419+443=431+431
864=373+491=397+467=401+463=421+443=431+433
866=367+499=379+487=409+457=433+433
868=389+479=401+467=419+449
870=379+491=383+487=409+461=421+449=431+439
872=373+499=409+463=433+439
874=383+491=431+443
876=389+487=397+479=409+467=419+457=433+443
878=379+499=421+457=439+439
880=389+491=401+479=419+461=431+449
882=383+499=419+463=421+461=433+449=439+443
884=397+487=421+463
886=419+467=443+443
888=389+499=397+491=401+487=409+479=421+467=431+457=439+449
890=433+457
892=401+491=431+461=443+449
894=431+463=433+461
896=397+499=409+487=433+463=439+457
898=419+479=431+467=449+449
900=401+499=409+491=421+479=433+467=439+461=443+457
902=439+463
904=443+461
906=419+487=439+467=443+463=449+457
908=409+499=421+487
910=419+491=431+479=443+467=449+461
912=421+491=433+479=449+463
914=457+457
916=449+467
918=419+499=431+487=439+479=457+461
920=421+499=433+487=457+463
922=431+491=443+479=461+461
924=433+491=457+467=461+463
926=439+487=463+463
928=449+479=461+467
930=431+499=439+491=443+487=463+467
932=433+499
934=443+491=467+467
936=449+487=457+479
938=439+499
940=449+491=461+479
942=443+499=463+479
944=457+487
946=467+479
948=449+499=457+491=461+487
950=463+487
952=461+491
954=463+491=467+487
956=457+499
958=467+491=479+479
960=461+499
962=463+499
964
966=467+499=479+487
968
970=479+491
972
974=487+487
976
978=479+499=487+491
980
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984
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988
990=491+499
992
994
996
998=499+499
1000
----------------------------------------------------------------------

------------------------------- 测试四 -------------------------------

用500以内的素数表，计算1000之内的素因数分解

2=2
3=3
4=2x2
5=5
6=2x3
7=7
8=2x2x2
9=3x3
10=2x5
11=11
12=2x2x3
13=13
14=2x7
15=3x5
16=2x2x2x2
17=17
18=2x3x3
19=19
20=2x2x5
21=3x7
22=2x11
23=23
24=2x2x2x3
25=5x5
26=2x13
27=3x3x3
28=2x2x7
29=29
30=2x3x5
31=31
32=2x2x2x2x2
33=3x11
34=2x17
35=5x7
36=2x2x3x3
37=37
38=2x19
39=3x13
40=2x2x2x5
41=41
42=2x3x7
43=43
44=2x2x11
45=3x3x5
46=2x23
47=47
48=2x2x2x2x3
49=7x7
50=2x5x5
51=3x17
52=2x2x13
53=53
54=2x3x3x3
55=5x11
56=2x2x2x7
57=3x19
58=2x29
59=59
60=2x2x3x5
61=61
62=2x31
63=3x3x7
64=2x2x2x2x2x2
65=5x13
66=2x3x11
67=67
68=2x2x17
69=3x23
70=2x5x7
71=71
72=2x2x2x3x3
73=73
74=2x37
75=3x5x5
76=2x2x19
77=7x11
78=2x3x13
79=79
80=2x2x2x2x5
81=3x3x3x3
82=2x41
83=83
84=2x2x3x7
85=5x17
86=2x43
87=3x29
88=2x2x2x11
89=89
90=2x3x3x5
91=7x13
92=2x2x23
93=3x31
94=2x47
95=5x19
96=2x2x2x2x2x3
97=97
98=2x7x7
99=3x3x11
100=2x2x5x5
101=101
102=2x3x17
103=103
104=2x2x2x13
105=3x5x7
106=2x53
107=107
108=2x2x3x3x3
109=109
110=2x5x11
111=3x37
112=2x2x2x2x7
113=113
114=2x3x19
115=5x23
116=2x2x29
117=3x3x13
118=2x59
119=7x17
120=2x2x2x3x5
121=11x11
122=2x61
123=3x41
124=2x2x31
125=5x5x5
126=2x3x3x7
127=127
128=2x2x2x2x2x2x2
129=3x43
130=2x5x13
131=131
132=2x2x3x11
133=7x19
134=2x67
135=3x3x3x5
136=2x2x2x17
137=137
138=2x3x23
139=139
140=2x2x5x7
141=3x47
142=2x71
143=11x13
144=2x2x2x2x3x3
145=5x29
146=2x73
147=3x7x7
148=2x2x37
149=149
150=2x3x5x5
151=151
152=2x2x2x19
153=3x3x17
154=2x7x11
155=5x31
156=2x2x3x13
157=157
158=2x79
159=3x53
160=2x2x2x2x2x5
161=7x23
162=2x3x3x3x3
163=163
164=2x2x41
165=3x5x11
166=2x83
167=167
168=2x2x2x3x7
169=13x13
170=2x5x17
171=3x3x19
172=2x2x43
173=173
174=2x3x29
175=5x5x7
176=2x2x2x2x11
177=3x59
178=2x89
179=179
180=2x2x3x3x5
181=181
182=2x7x13
183=3x61
184=2x2x2x23
185=5x37
186=2x3x31
187=11x17
188=2x2x47
189=3x3x3x7
190=2x5x19
191=191
192=2x2x2x2x2x2x3
193=193
194=2x97
195=3x5x13
196=2x2x7x7
197=197
198=2x3x3x11
199=199
200=2x2x2x5x5
201=3x67
202=2x101
203=7x29
204=2x2x3x17
205=5x41
206=2x103
207=3x3x23
208=2x2x2x2x13
209=11x19
210=2x3x5x7
211=211
212=2x2x53
213=3x71
214=2x107
215=5x43
216=2x2x2x3x3x3
217=7x31
218=2x109
219=3x73
220=2x2x5x11
221=13x17
222=2x3x37
223=223
224=2x2x2x2x2x7
225=3x3x5x5
226=2x113
227=227
228=2x2x3x19
229=229
230=2x5x23
231=3x7x11
232=2x2x2x29
233=233
234=2x3x3x13
235=5x47
236=2x2x59
237=3x79
238=2x7x17
239=239
240=2x2x2x2x3x5
241=241
242=2x11x11
243=3x3x3x3x3
244=2x2x61
245=5x7x7
246=2x3x41
247=13x19
248=2x2x2x31
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