电磁场与电磁波(2)

第一章部分习题：

1：

试采用直角坐标中 $\nabla\cdot\boldsymbol A=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$相似的方法推出圆柱坐标下的公式 $\nabla\cdot\boldsymbol A=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_\rho)+\frac{\partial A_\phi}{\rho\partial \phi}+\frac{\partial Az}{\partial z}$
在直角坐标中选用的是正方体，前后、左右、上下六个面相互抵消后都有一个维度的微元量多出来，将这三个维度的矢量相加，就得到 $\nabla\cdot\boldsymbol A=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$。类似地，柱坐标系中应用角度、半径、高等作为微元分别分析。如下。

固定张角和高度、将半径移动一个微元量，有
$\phi_r=\int_\phi^{\phi+\Delta\phi} \int_z^{z+\Delta z}A_r|_{r+\delta r}(r+\delta r)drd\phi-\int_\phi^{\phi+\Delta\phi} \int_z^{z+\Delta z}A_r|_{r}drd\phi$
$\approx [(r+\Delta r)A_r(r+\Delta r,\phi,z)-rA_r(r,\phi,z)]\Delta\phi\Delta z=\frac{1}{r}\frac{\partial(rA_r)}{\partial r}\Delta \tau$
其中，Δτ表示体积元。得到的是半径向外伸展Δr时，通量的变化量。
类似地，
$\Phi_\phi=\int_r^{r+\Delta r}\int_\phi^{\phi+\Delta \phi}A_z|_{z+\Delta z}rdrd\phi-\int_r^{r+\Delta r}\int_\phi^{\phi+\Delta \phi}A_z|_{z}rdrd\phi$
$\approx [A_\phi(r,\phi+\Delta \phi,z)-A_\phi(r,\phi,z)]\Delta r\Delta z\approx \frac{1}{r}\frac{\partial(A_\phi)}{\partial \phi}\Delta \tau$同理，
$\phi_z=\int_{r}^{r+\Delta r}\int_{\phi}^{\phi+\Delta \phi}A_z|_{z+\Delta z}rdrd\phi-\int_{r}^{r+\Delta r}\int_{\phi}^{\phi+\Delta \phi}A_z|_{z}rdrd\phi$
$\approx [A_z(r,\phi,z+\Delta z)-A_z(r,\phi,z)]r\Delta r\Delta \phi\Delta z\approx\frac{\partial A_z}{\partial z}r\Delta r\Delta \phi\Delta z=\frac{\partial A_z}{\partial z}\Delta \tau$
所以矢量场穿出六面体表面的通量是
$\Phi=\Phi_r+\Phi_\phi+\Phi_z\approx[\frac{1}{r}\frac{\partial(rA_r)}{\partial r}+\frac{\partial A_\phi}{r\partial\phi}+\frac{\partial A_z}{\partial z}]\Delta \tau$所以有
$\nabla\cdot\boldsymbol A=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_\rho)+\frac{\partial A_\phi}{\rho\partial \phi}+\frac{\partial Az}{\partial z}$

2：

现有三个矢量ABC分别为
$\boldsymbol A=\boldsymbol e_rsin\theta cos\phi+\boldsymbol e_\theta cos\theta cos\phi-e_\phi sin\phi$
$\boldsymbol B=\boldsymbol e_\rho z^2sin\phi+\boldsymbol e_\phi z^2cos\phi+\boldsymbol e_z 2\rho zsin\phi$
$\boldsymbol C=\boldsymbol e_x(3y^2-2x)+\boldsymbol e_yx^2+\boldsymbol e_z2z$
哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些可以用矢量函数的旋度表示？求出这些矢量的源分布。
此题主要是计算和代入，难度不大，但容易算乱。先根据变量形式，确定ABC分别应该用球坐标系、柱坐标系、直角坐标系公式验证。
在球坐标系中套用公式（要记住柱、球、直角坐标系的旋度公式、散度公式，题目中常用），还要记住无旋场可表示标量函数的梯度、无散场可表示（另一个）矢量函数的旋度。
$\boldsymbol A\cdot \nabla =\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2A_r)+\frac{1}{rsin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(sin\theta A_\theta)+\frac{1}{rsin\theta}\frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}$

$=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2sin\theta cos\phi)+\frac{1}{rsin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}(sin\theta cos\theta cos\phi)+\frac{1}{rsin\theta}\frac{\partial}{\partial \phi}(-sin\phi)$

$=\frac{2}{r}sin\theta cos\phi+\frac{cos\phi}{rsin\theta}-\frac{2sin\theta cos\phi}{r}-\frac{cos\phi}{rsin\theta}=0$注意上式中中间一项的求导，是将sin(theta)cos(theta)合并后求导成2cos（2θ），然后展成1-2sin(theta)^2的结果。

$\Delta \times \boldsymbol A=\frac{1}{r^2sin\theta}\begin{vmatrix}e_r&re_\theta&rsin\theta e_\phi\\ \frac{\partial}{\partial r}&\frac{\partial}{\partial \theta}&\frac{\partial}{\partial \phi}\\A_r&rA_\theta&rsin\theta A_\phi\end{vmatrix}$至于怎么记住这个三阶行列式，可以认为（非官方）第一行和第三行每个元素表达的都应是边；第一个变量r显然本来就是边，不需要加东西；而θ需要乘个r以表明它是水平方向弧线宽度；φ需要乘个rsinθ表明它是纵向弧线宽度。这样对应起来就是上面的行列式。

$=\frac{1}{r^2sin\theta}\begin{vmatrix}e_r&re_\theta&rsin\theta e_\phi\\ \frac{\partial}{\partial r}&\frac{\partial}{\partial \theta}&\frac{\partial}{\partial \phi}\\sin\theta cos\phi&rcos\theta cos\phi &-rsin\theta sin\phi\end{vmatrix}=0$
上式代入计算时个人感觉用最直接的三阶行列式行列式展开法简单些。

矢量函数A算得的旋度和散度结果是0，所以A可以用标量函数的梯度来表示，也可以用一个矢量函数的旋度来表示。再看看B，显然给的是柱坐标形式。仍然先求散度。散度的式子好算但不好记，可以与上方的球坐标公式类比来记。
$\Delta \cdot \boldsymbol B\\ =\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r B_{r}\right)+\frac{1}{r} \frac{\partial B_{\phi}}{\partial \phi}+\frac{\partial B_{z}}{\partial z} \\= \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r z^{2} \sin \phi\right)+\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \phi}\left(z^{2} \cos \phi\right)+\frac{\partial}{\partial z}(2 r z \sin \phi) \\= \frac{z^{2} \sin \phi}{r}-\frac{z^{2} \sin \phi}{r}+2 r \sin \phi=2 r \sin \phi$
再求旋度。对于柱坐标系的这个三阶行列式，（非官方）采取与球坐标系相似的记忆方法记住。显然，只有θ代表的是角度而不是边，要乘r后才能代表它的边（水平弧线）。计算仍然是直接展开简单。
$\nabla \times \boldsymbol{B}=\frac{1}{r}\left|\begin{array}{ccc} \boldsymbol{e}_{r} & r \boldsymbol{e}_{\theta} & \boldsymbol{e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \phi} & \frac{\partial}{\partial z} \\ B_{r} & r B_{\theta} & B_{z} \end{array}\right|=\frac{1}{r}\left|\begin{array}{ccc} \boldsymbol{e}_{r} & \boldsymbol{r} \boldsymbol{e}_{\theta} & \boldsymbol{e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \phi} & \frac{\partial}{\partial z} \\ z^{2} \sin \phi & r z^{2} \cos \phi & 2 r z \sin \phi \end{array}\right|=0$
旋度为0，故可表成一标量函数的梯度。
完全相同地，对C求散度和旋度。直角坐标系相对来说是最简单的。
$\nabla\cdot \boldsymbol{C}= \frac{\partial C_{x}}{\partial x}+\frac{\partial C_{y}}{\partial y}+\frac{\partial C_{z}}{\partial z}=\\ \frac{\partial}{\partial x}\left(3 y^{2}-2 x\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(x^{2}\right)+\frac{\partial}{\partial z}(2 z)=0$

$\nabla \times \boldsymbol{C}=\left|\begin{array}{c} \boldsymbol{e}_{x}& \boldsymbol{e}_{y}& \boldsymbol{e}_{z} \\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z} \\ 3 y^{2}-2 x &x^{2}& 2 z \end{array}\right|=\boldsymbol{e}_{z}(2 x-6 y)$
散度为0，故可表示成另一矢量函数的旋度。
至于题目中的源分布的表示，分别将各自上述散度旋度（计算结果）摆在一起就可以了（因为不考虑边界条件时，矢量场可以由它的旋度和散度唯一确定。）

3：

利用直角坐标，证明
$\boldsymbol\nabla\times (f\boldsymbol G)=f\boldsymbol{\nabla \times G + \nabla}f\times \boldsymbol G$
拿到证明题，先初步理解它。看左边，f没有加粗说明是个标量函数；fG是将这个标量函数作用到矢量场（矢量函数）G上，得到新的矢量函数，然后再对它求梯度。看右边，先对标量函数f求梯度、得到矢量函数、再求与G的叉积。看起来，这是标量函数先作用在函数上再求叉积，还是先对标量函数经过nabla算子转成梯度式再与那个函数相乘的比较问题，感觉差不多是相等的。
接下来具体证一证。带着nabla显然无法证明。先把nabla符号去掉（就是展开），然后看看左右能不能等在一起。例如， $f \nabla \times G$展开简单，就是f乘上旋度的展开式罢了，如下。
$f \nabla \times G=f\left[e_{x}\left(\frac{\partial G_{z}}{\partial y}-\frac{\partial G_{y}}{\partial z}\right)+e_{y}\left(\frac{\partial G_{x}}{\partial z}-\frac{\partial G_{z}}{\partial x}\right)+e_{z}\left(\frac{\partial G_{y}}{\partial x}-\frac{\partial G_{x}}{\partial y}\right)\right]$
等号后面的展开相对麻烦一点。
先利用梯度公式
$grad ~u=(\boldsymbol e_x\frac{\partial}{\partial x}+\boldsymbol e_y\frac{\partial}{\partial y}+\boldsymbol e_z\frac{\partial}{\partial z})$
写成
$\nabla f=(\boldsymbol e_x\frac{\partial f}{\partial x}+\boldsymbol e_y\frac{\partial f}{\partial y}+\boldsymbol e_z\frac{\partial f}{\partial z})$
再利用叉乘公式

或者

展开。比如说这里a₁指的是左向量的第一个分量， $\frac{\partial f}{\partial x}$；
b₁指的是右向量第一个(维度的)分量， $G_z$
按照上式乘起来，就得到下式：

$\nabla f\times G=\left[e_{x}\left(G_{z} \frac{\partial f}{\partial y}-G_{y} \frac{\partial f}{\partial z}\right)+e_{y}\left(G_{x} \frac{\partial f}{\partial z}-G_{z} \frac{\partial f}{\partial x}\right)+e_{z}\left(G_{y} \frac{\partial f}{\partial x}-G_{x} \frac{\partial f}{\partial y}\right)\right]$
暂时左右还看不出哪里等于了，将右边两者加和看看能不能约去或合并一些项。
$f \nabla \times G+\nabla f \times G$ $=e_{x}\left[\left(G_{z} \frac{\partial f}{\partial y}+f \frac{\partial G_{z}}{\partial y}\right)-\left(G_{y} \frac{\partial f}{\partial z}+f \frac{\partial G_{y}}{\partial z}\right)\right]+$
$\quad e_y\left[\left(G_{x} \frac{\partial f}{\partial z}+f \frac{\partial G_{x}}{\partial z}\right)-\left(G_{z} \frac{\partial f}{\partial x}+f \frac{\partial G_{z}}{\partial x}\right)\right]+$
$\quad e_z\left[\left(G_{y} \frac{\partial f}{\partial x}+f \frac{\partial G_{y}}{\partial x}\right)-\left(G_{x} \frac{\partial f}{\partial y}+f \frac{\partial G_{x}}{\partial y}\right)\right]$
将同一方向的向量联立在一起。发现正好是
$=e_x\left[\frac{\partial\left(f G_{z}\right)}{\partial y}-\frac{\partial(f G_x)}{\partial z}\right]+e_{y}\left[\frac{\partial\left(f G_{x}\right)}{\partial z}-\frac{\partial\left(f G_{z}\right)}{\partial x}\right]+ e_z\left[\frac{\partial(f G)}{\partial x}-\frac{\partial(f G)}{\partial y}\right]$

$=\nabla \times(f G)$
自此完成证明。

4.

用球坐标表示的场
$E=e_r\frac{25}{r^2}$
求在直角坐标中点(-3,4,-5)处的|E|和E_x
求在直角坐标中，点（-3,4,-5）处E与矢量B=e_x2-e_y2+e_z构成的夹角。
第一问直接出答案，分别是 $\frac{1}{2}$和 $-\frac{3\sqrt{2}}{20}$。

在直角坐标中点(-3,4,-5)处，
$\boldsymbol r=-\boldsymbol e_{x}3+\boldsymbol e_y4-\boldsymbol e_z5$
所以
$\boldsymbol E = \frac{25}{r^2}=\frac{25\boldsymbol r}{r^3}=\frac{e_{x}3+\boldsymbol e_y4-\boldsymbol e_z5}{10\sqrt{2}}$
所以E与B构成的夹角
$\theta_{EB}=cos^{-1}\frac{(E\cdot B)}{|E||B|}=153.6°$