*钟皓曦老师授课*
常见最短路算法：
Floyd → O(n^3)
Bellman-Ford → O(nm)
Dijkstra → O(n^2+m)
Dijkstra-Heap → O((n+m)log(n+m))
SPFA → O(km) 随机图 （k一般为2） 可以判负环→若一个点进队列次数超过n次，则有负环。
O(nm) 精心构造的数据
→判断选用哪种算法：
if(n<=100) Floyd;
else if(无负权) Dijkstra-Heap;
else SPFA;
→
①单源最短路可以求解多源最短路问题。
②一点到另一点的最短路，最多经过n-1条边。
→证明：若路径包含的边数>=n，说明有环，我们可以去掉环之后直接走。因此最短路不存在环，也就最多只有n-1条边。
③求最短路一定无负环，求最长路一定无正环。但可以有正负权值的边。
次短路（次短简单路，即无重复点）：
①枚举每一条边，删除后跑最短路，最后取min O(n*(n+m)log(n+m))。
②令dis[u][0]表示从起点到u的最短路，dis[u][1]表示从起点到u的次短路。
设W=dis[v][0]+e[i].w
当W∈左集合时 即新更新的最短路<之前最短路<之前次短路 ∴dis[v][1]=dis[v][0],dis[v][0]=W
当W∈中间集合时 即之前最短路<新更新的最短路<之前次短路 ∴dis[v][1]=W dis[v][0]不变
当W∈左集合时 即之前最短路<之前次短路<新更新的最短路 ∴dis[v][1]和dis[v][0]都不变
任何一个点的次短路可能有多段次短路组合而成，因此最终ans还要用次短路更新一遍。
PS.对于次短非简单路，用A*或ZEN（蒙特卡洛）算法，不考，而且我也不会。。。。
K短路：（目前不会。。。，但方法和上面类似）
差分约束：
给定n个变量，m个形如vi-vj</<=/>/>=/= k 的约束条件，令v1=0，求vn最小/最大是多少。
<=>n个点，m条边，从v1号点出发，问vn的最长路/最短路是多少。
例：v1-v3>=3 ①v1>=v3+3 根据最长路三角不等式，v3向v1连一条边权为3的边。建完图后跑最长路
②v3<=v1+(-3) 根据最短路三角不等式，v1向v3连一条边权为-3的边。建完图后跑最短路、
最大值<=>最短路 若存在负环，则最大值为无穷大
最小值<=>最长路 若存在正环，则最小值为无穷小
例：{v1-v2>=3 ; v2-v3>=3 ; v1-v3>=2 }
①最大值
{v2<=v1+(-3) ; v3<=v2+(-3) ; v3<=v1+(-2)}
∵从v1到v3的最短路为-6
∴ v3 max=-6
②最小值
{v1>=v2+3 ; v2>=v3+3 ; v1>=v3+2}
∵从v1到v3的最长路不存在
∴v3 min= -∞
常见连边方式：
vi-vj>=k -> vi>=vj+k or vj<=vi+(-k)
vi-vj>k -> vi-vj>=k+1
vi-vj=k -> vi-vj>=k&&vi-vj<=k -> vi>=vj+k&&vi<=vj+k 连两条边，形成一个零环，使两者最短/长路相等
vi-vj<=k
vi-vj<k ->vi-vj<=k-1