2021寒假每日一题《K倍区间》

K倍区间

题目来源：第八届蓝桥杯省赛Java/C++大学B组
时间限制：$1000ms$ 内存限制：$64mb$

题目描述

给定一个长度为 $N$ 的数列，$A_1,A_2,\dots ,A_N$，如果其中一段连续的子序列 $A_i,A_{i+1},\dots ,A_j$ 之和是 $K$ 的倍数，我们就称这个区间 $[i,j]$ 是 $K$ 倍区间。
你能求出数列中总共有多少个 $K$ 倍区间吗？

输入格式

第一行包含两个整数 $N$ 和 $K$ 。
以下 $N$ 行每行包含一个整数 $A_i$ 。

输出格式

输出一个整数，代表 $K$ 倍区间的数目。

数据范围

$1\le N,K\le 100000$ ,
$1\le Ai\le 100000$

样例输入

5 2
1
2
3
4
5

样例输出

6

解题思路

一个经典的前缀和题目
在读入 $A_i$ 的时候直接存入前 $i$ 项和。
求区间 $[i,j]$ 的和的时候，直接用前 $j$ 项和 $S_j$ 减去前 $i$ 项和 $S_i$ 就得到了，然后对其模 $K$，判断是否为 $0$ 即可。

直接做会超时。
优化：
如果 $(S_i-S_j)\%k=0$ ，那么 $S_i\%k$ 和 $S_j\%k$ 都等于 $0$ 。
问题就转化为了，枚举终点坐标 $x$ ，求有多少个数模$k$的余数是$S_x\%k$。即查找某一个数出现了多少次。

开一个 $cnt$ 数组， $cnt[x]$ 表示，余数为 $x$ 的数的个数。
即求的就是 $cnt[S_x\%k]$ ，每次算完就让 $cnt[S_x\%k]++$ 。

解题代码-Java

import java.util.Scanner;

public class Main {
    
    
    public static void main(String[] args) {
    
    
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        int n = input.nextInt();
        int k = input.nextInt();
        long[] a = new long[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
            a[i] = a[i - 1] + input.nextInt();
        }
        input.close();

        long ans = 0;
        int[] cnt = new int[n+1];
        cnt[0]++;

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
            ans += cnt[(int) (a[i]%k)];
            cnt[(int) (a[i]%k)]++;
        }

        System.out.println(ans);
    }
}