2021寒假每日一题《滑雪场设计》

棋盘挑战

题目来源：USACO 2014 January Contest Bronze
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题目描述

农夫约翰的农场上有 $N$ 个山丘，每座山的高度都是整数。
在冬天，约翰经常在这些山上举办滑雪训练营。
不幸的是，从明年开始，国家将实行一个关于滑雪场的新税法。
如果滑雪场的最高峰与最低峰的高度差大于17，国家就要收税。
为了避免纳税，约翰决定对这些山峰的高度进行修整。
已知，增加或减少一座山峰 $x$ 单位的高度，需要花费 $x^2$ 的金钱。
约翰 只愿意改变整数单位 的高度。
请问，约翰最少需要花费多少钱，才能够使得最高峰与最低峰的高度差不大于17。

输入格式

第一行包含整数 $N$ 。
接下来 $N$ 行，每行包含一个整数，表示一座山的高度。

输出格式

输出一个整数，表示最少花费的金钱。

数据范围

$1\le N\le 1000$
数据保证，每座山的初始高度都在 $0\sim 100$ 之间。

样例输入

5
20
4
1
24
21

样例输出

18

样例解释

最佳方案为，将高度为 $1$ 的山峰，增加 $3$ 个单位高度，将高度为 $24$ 的山峰，减少 $3$ 个单位高度。

解题思路：枚举

拿到给定的山高度的数组之后，
因为每座山的初始高度都在 $0\sim 100$ 之间。
所以设置一个山的最小标准 $i$ ，从 $0$ 开始，到 $100-17$ 之间，也就是 $i\in [0,83)$ ，
将 $i$ 设置为一个最小标准，所有山比最小标准矮的，进行增高，
将 $i+17$ 设置为最大标准，所有山比最大标准高的，将其变矮。

枚举所有情况，取花费最小的一项，即得题解。

解题代码-Java

import java.util.*;

public class Main {
    
    
    public static void main(String[] args) {
    
    
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        int n = input.nextInt();
        int[] mountains = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    
            mountains[i] = input.nextInt();
        }
        input.close();
        int ans = Integer.MAX_VALUE;  //给答案赋一个很大的初始值
        for (int i = 0; i < 100 - 17; i++) {
    
      //以 [i,i+17] 为山的高度区间，枚举所有可能
            int w = 0;
            for (int j = 0; j < n; j++) {
    
    
                if (mountains[j] < i) {
    
      //若山的高度不在区间内，则计算需要花费的金钱
                    w += Math.pow(mountains[j] - i, 2);
                } else if (mountains[j] > i + 17) {
    
    
                    w += Math.pow(mountains[j] - i - 17, 2);
                }
            }
            ans = Math.min(ans, w);  //枚举所有的情况，取花费金钱最小的值作为答案。
        }
        System.out.println(ans);
    }
}