【训练题26：ST表实现RMQ(附带详细证明)】质量检测 | 洛谷 P2251

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题外话

之前听说过ST表，但是没想到这么有用又这么简单。。

前置知识

• DP，动态规划

难度

$普及/提高-$

题意

给你一个长度为 $N$ 的序列 $A_N$和一个 $M$
让你输出 Q i = min ⁡ { A i , A i + 1 ⋯ A i + M − 1 } Q_i=\min\{A_i,A_{i+1}\cdots A_{i+M-1}\} Qi​=min{ Ai​,Ai+1​⋯Ai+M−1​}
其中 $i=1toN-m+1$

数据范围

$M\le N\le 10^5$
$A_i\le 10^6$

思路

• ST表能干什么？

  • 给你一个静态序列，能 $O(1)$ 算出其中任何一个连续子序列中的最值。

• 相比于其他的一些做法，ST表有一些优势，适用于静态的多查询的情况。

  • 时间复杂度 ：
    • 预处理：$O(N\log N)$
    • 查询：$O(1)$
  • 空间复杂度 $O(N\log N)$

• 缺点：离线算法，无法更新序列

• 做法：设 d p [ i ] [ j ] = min ⁡ { A i , A i + 1 ⋯   , A i + 2 j − 1 } dp[i][j]=\min\{A_i,A_{i+1}\cdots,A_{i+2^j-1}\} dp[i][j]=min{ Ai​,Ai+1​⋯,Ai+2j−1​}记作 $\min [i,i+2^j-1]$

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  • 初始化：$dp[i][0]=A_i$
  • 预处理： d p [ i ] [ j ] = min ⁡ { d p [ i ] [ j − 1 ] , d p [ i + 2 j − 1 ] [ j − 1 ] } \color{red}dp[i][j]=\min\{dp[i][j-1],dp[i+2^{j-1}][j-1]\} dp[i][j]=min{ dp[i][j−1],dp[i+2j−1][j−1]}
    • 证明： min ⁡ [ i , i + 2 j − 1 ] = min ⁡ { min ⁡ [ i , i + 2 j − 1 − 1 ] , min ⁡ [ i + 2 j − 1 , i + 2 j − 1 + 2 j − 1 − 1 ] } = min ⁡ { min ⁡ [ i , i + 2 j − 1 − 1 ] , min ⁡ [ i + 2 j − 1 , i + 2 j − 1 ] } \begin{aligned}\min[i,{i+2^j-1}]&=\min\{\min[i,{i+2^{j-1}-1}],\min[{i+2^{j-1}},{i+2^{j-1}+2^{j-1}-1}]\}\\&=\min\{\min[i,{i+2^{j-1}-1}],\min[{i+2^{j-1}},{i+2^{j}-1}]\}\end{aligned} min[i,i+2j−1]​=min{ min[i,i+2j−1−1],min[i+2j−1,i+2j−1+2j−1−1]}=min{ min[i,i+2j−1−1],min[i+2j−1,i+2j−1]}​
    • 后面两个区间的并就是前面的区间，显然成立。
  • 查询 $[l,r]$ 区间内的最小值 $\min [l,r]$：
    • 首先求出 $k={\log }_2(r-l+1)$
    • 然后答案为 min ⁡ { d p [ l ] [ k ] , d p [ r − 2 k + 1 ] [ k ] } \color{red}\min\{dp[l][k],dp[r-2^k+1][k]\} min{ dp[l][k],dp[r−2k+1][k]}
      • 证明：只要求出这两个范围覆盖全区间即可
      • 即证明：$[l,l+2^k-1]\cap [r-2^k+1,r-1]=[l,r]$
      • 即证明：$l+2^k-1\ge r-2^k+1$恒成立。（因为边界已经成立）
      • 即证明：$2^{k+1}\ge r-l+2$，带入$k={\log }_2(r-l+1)$
      • 即证明：$2r-2l+2\ge r-l+2$
      • 显然成立 Q.E.D.

核心代码

• 时间复杂度 ：
  • 预处理：$O(N\log N)$
  • 查询：$O(1)$
• 空间复杂度 $O(N\log N)$

/*
 _            __   __          _          _
| |           \ \ / /         | |        (_)
| |__  _   _   \ V /__ _ _ __ | |     ___ _
| '_ \| | | |   \ // _` | '_ \| |    / _ \ |
| |_) | |_| |   | | (_| | | | | |___|  __/ |
|_.__/ \__, |   \_/\__,_|_| |_\_____/\___|_|
        __/ |
       |___/
*/
const int MAX = 1e5+50;
int aa[MAX];
int dp[MAX][100];
int n,m;
void init(){
    
    
    for(int i = 1;i <= n;++i)dp[i][0] = aa[i];
    for(int j = 1;(1<<j) <= n;++j){
    
    
        for(int i = 1;i+(1<<j)-1 <= n;++i){
    
    
            dp[i][j] = min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<j-1)][j-1]);
        }
    }
}
int query(int l,int r){
    
    
    int k = log2(m);
    return min(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k]);
}
int main(){
    
    

    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 1;i <= n;++i)scanf("%d",&aa[i]);
    init();
    for(int i = m;i <= n;++i){
    
    
        printf("%d\n",query(i-m+1,i));
    }
    return 0;
}