抽象代数的代码实现（6）自同构、正规子群、商群

到目前为止，这里面的复杂性已经超出了我的想象，我觉得最关键的还是表达力太欠缺了，怎么用代码来表示各种数学的表达式如多元函数等，数学上的各种变换和各种代换怎么表示，还有各种表达式间的混合运算，真的感觉这些已经不在我的认知范围内了，就好像一个初中生去做微积分一样困难。

本章内容涉及到了抽象代数的一些关键概念，包括自同构、正规扩张、正规子群、商群和伽罗瓦对应，目前还是通过代码举例说明这些概念为主，其实这些概念之间在逻辑上有很强的制约关系，所以对应存在很多精彩的证明，如上所述，由于现在表达力太欠缺了，暂时没有办法用代码把这些证明表达出来，文字证明见E.Artin的《伽罗华理论》中文版。

自同构

对于域K到K’的一一映射σ，如果σ(a)σ(b)=σ(ab),那么就把σ叫做同构，特别的如果K’就是K本身那么把σ叫做K的自同构，接下来我们研究的主要是自同构。同构的意思就是映射后乘法仍然是成立的，自同构的意思相当于把自身元素进行交换，保持乘法成立。显然，K到K的恒等映射是一个自同构。

现在来通过具体的例子说明，比如x ^4 - 2 = 0,这个函数有4个根，分别是
$$\sqrt[4]{2}、-\sqrt[4]{2}、i\sqrt[4]{2}、-i\sqrt[4]{2}$$
现在设K是有理数域，E是包含上面4个根的最小域，可以看到E主要是由$\sqrt[4]{2}$和i构成的,现在找出所有使K保持不变的E的自同构，通过前面的介绍我们已经知道扩域的基本流程，通过添加一个新元使作为多项式的根，域的结构是由多项式决定，根的选择不影响域的结构，也就是说只要多项式相同，那么通过不同的根扩出来的域其实是同构的，这样通过交换根来映射就得到以下8组自同构。
$$\begin{array}{rl}& 1:\sqrt[4]{2}\to \sqrt[4]{2}\\ & \sigma :\sqrt[4]{2}\to i\sqrt[4]{2}\\ & {\sigma }^2:\sqrt[4]{2}\to -\sqrt[4]{2}\\ & {\sigma }^3:\sqrt[4]{2}\to -i\sqrt[4]{2}\\ & \tau :i\sqrt[4]{2}\to -i\sqrt[4]{2}\\ & \sigma \tau :i\sqrt[4]{2}\to \sqrt[4]{2}\\ & {\sigma }^2\tau :i\sqrt[4]{2}\to i\sqrt[4]{2}\\ & {\sigma }^3\tau :i\sqrt[4]{2}\to -\sqrt[4]{2}\end{array}$$
说明一下，1是恒等变换，$\sigma$保持i不变，把$\sqrt[4]{2}$变成$i\sqrt[4]{2}$，$\tau$保持$\sqrt[4]{2}$不变，把i变成-i，其中${\sigma }^4=1$ ${\tau }^2=1$，$\tau \sigma {\tau }^{-1}={\sigma }^{-1}$

正规扩张

容易验证上面8个自同构组成一个群，现在先引入命题14，证明见E.Artin的伽罗瓦理论：

如果σ1，σ2，…,σn做成E的自同构群，并且K是这些同构的不动点体（即映射后保持不变），则E在K上的扩张次数(E/K)=n

这样就可以定义正规扩张的概念了，设E为K的扩域，G为E的自同构群，G使K中的元素保持不变，那么称E为K的正规扩张，扩张次数就是群G的元素个数。

于是上节中定义的8个自同构组成一个E的自同构群，G使有理数域K保持不变，所以(E/K)=8，该域的向量空间由以下8个元素生成：
$$\begin{gathered} 1,\sqrt[4]{2},(\sqrt[4]{2}{)}^2,(\sqrt[4]{2}{)}^3, \\ i,i\sqrt[4]{2},i(\sqrt[4]{2}{)}^2,i(\sqrt[4]{2}{)}^3, \end{gathered}$$

代码实现

在介绍接下来的概念之前，我觉得有必要先把上面的自同构实现以下。因为$\sqrt[4]{2}$是x ^4 - 2 = 0的根，首先要在有理数上把$\sqrt[4]{2}$添加进来扩域，这是一个4次扩域K($\sqrt[4]{2}$)/K=4, 由于这个域并没有虚数i，但是根里面出现了i，那么还要在K($\sqrt[4]{2}$)的基础上把i添加进来得到扩域E，其中i是x ^2+1=0的根，(E/K($\sqrt[4]{2}$）)=2,(E/K)=2*4=8

代码中首先在把有理数域扩充成K($\sqrt[4]{2}$)，第一个参数是新域，第2个参数是有理数域，第3个参数是x ^4-2的最高次数

SetVecField(&pAlgebra->pVecField,pAlgebra->pField,4);
//设置多项式参数
    aCoef[0] = -4;
    aCoef[1] = 0;
    aCoef[2] = 0;
    aCoef[3] = 0;
    aCoef[4] = 1;

然后在K($\sqrt[4]{2}$)的基础上通过多项式x ^2+1再继续扩充

FieldSys *ExtendField(FieldSys *pField)
{
    
    
    ... ...
    int aCoef[10] = {
    
    1,0,1};

    pExtend = (FieldSys *)malloc(sizeof(FieldSys));
    //新建有理数多项式x^2+1
    pTemp = NewPolyVec(pSub,aCoef,2);
    //改写成新域下的多项式
    pPoly = GetNewFieldPoly(pField,pTemp);
    FreeVector(pTemp);
    PrintVec(pField,pPoly);
    //通过多项式x^2+1来扩域
    pExtend->pGroup1 = PolyPlusObj(pField,pPoly->nEle-1,pPoly);
    pExtend->pGroup2 = PolyMultObj(pField,pPoly->nEle-1,pPoly);
    pField->pParent = pExtend;
    loga("Extend %d",pPoly->nEle);
    IsField(pExtend);

    return pExtend;
}

这样就得到了包含x ^4-2=0所有根的域E，现在在来实现E中使K不变的8个自同构群，首先要定义自同构群的结构体

typedef struct MapEle MapEle;
struct MapEle
{
    
    
    //σ和τ两种基本变换，所有自同构都由这2种基本变换生成
    void (*xSigma)(VectorEle* pSrc);
    void (*xTau)(VectorEle* pSrc);
    u8 nSigma; //σ变换的次数
    u8 nTau;//τ变换的次数
};

定义后好，我们就可以实现群中需要的基本接口，生成函数，乘法，求逆，等号判断，这样就得到了一个自同构群

OperateSys *AutomorphismsObj(void)
{
    
    
    OperateSys *pGroup;
    MapEle *pBaseItem;

    pGroup = (OperateSys *)malloc(sizeof(OperateSys));
    memset(pGroup,0,sizeof(OperateSys));
    //群中的单位元为恒等变换
    pBaseItem = (MapEle *)malloc(sizeof(MapEle));
    memset(pBaseItem,0,sizeof(MapEle));
    pBaseItem->xSigma = SigmaMap;
    pBaseItem->xTau = TauMap;
    pBaseItem->nSigma = 0;
    pBaseItem->nTau = 0;
    
    pGroup->nPara = 1;
    pGroup->pBaseEle = pBaseItem;
    pGroup->xGen = (void*)AutomorphismsGen;
    pGroup->xOperat = (void*)AutomorphismsMult;
    pGroup->xInvEle = (void*)AutomorphismsInv;
    pGroup->xIsEqual = (void*)AutomorphismsEqual;

    return pGroup;
}

把这个自同构群放进群证明器中可以验证其为群

OperateSys *pMap = AutomorphismsObj();
IsGroup(pMap);

现在我们来定义这个群对E中元素所做的变换，比如群中元素是${\sigma }^2\tau$,那么pMap->nSigma就是2，pMap->nTau是1

void FieldMapping(MapEle* pMap, VectorEle* pVec)
{
    
    
    int i;
    for(i=0;i<pMap->nSigma;i++)
    {
    
    
        pMap->xSigma(pVec);
    }
    for(i=0;i<pMap->nTau;i++)
    {
    
    
        pMap->xTau(pVec);
    }
}

那么怎么能说明上面定义的对自身的映射是自同构呢，可以通过以下代码说明：

int isAutomorphisms(FieldSys *pField,OperateSys *pMap)
{
    
    
    int rc = 0;
    int i,j,k;
    VectorEle* pT[3];
    VectorEle* pV[4];
    OperateSys *pOpSys = pField->pGroup2;
    MapEle *pEle;

    for(i=0; i<8; i++)
    {
    
    
        loga("i %d",i);
        k = FakeRand(i);
        SetGenPara(pOpSys,k);
        pEle = pMap->xGen(pMap,i);
        //生成元素a，b和ab
        pT[0] = pOpSys->xGen(pOpSys,k);
        pT[1] = pOpSys->xGen(pOpSys,k+2);
        pT[2] = pOpSys->xOperat(pT[0],pT[1]);

        for(j=0;j<3;j++)
        {
    
    
            pV[j] = VecCpy(pT[j]);
        }
        //生成变换后的元素σ(a),σ(b),σ(ab),
        for(j=0;j<3;j++)
        {
    
    
            FieldMapping(pEle,pV[j]);
        }
        //计算σ(a)*σ(b)
        pV[3] = pOpSys->xOperat(pV[0],pV[1]);
        //验证σ(a)*σ(b)=σ(ab)
        rc = pOpSys->xIsEqual(pV[2],pV[3]);
		assert(rc);
    }

    return rc;
}

例子

现在把新扩张的域E写成如下形式，是由8个元素生成的向量空间
$$a_0+a_1\sqrt[4]{2}+a_2(\sqrt[4]{2}{)}^2+a_3(\sqrt[4]{2}{)}^3+a_{4}i+a_{5}i\sqrt[4]{2}+a_{6}i(\sqrt[4]{2}{)}^2+a_{7}i(\sqrt[4]{2}{)}^3$$
再写成向量的形式，第一行没有$\sqrt[4]{2}$其他行有，第一列没i，第2列有i
$$\left(\begin{array}{cc}{a}_0& a_4\\ a_1& a_5\\ a_2& a_6\\ a_3& a_7\end{array}\right)$$
现在以一个元素为例，来说明这8个自同构
79.00   -80.00
-50.00   3.00
73.00   -74.00
-12.00   49.00

向量的第一行是a+bi组成的中间域B，我们看到1，σ，σ ^2, σ ^3并不改变该域的元素，所以这是使域B保持不变的自同构，并且组成一个群，所以E是B上的正规扩张，1，τ是B上的自同构群，并且使有理数域K保持不变，所以B是K上的正规扩张。现在以这8个自同构组成的群为基础，定义一些新的概念，并且不加证明的给出一些关键结论。

伽罗瓦基本定理

如上所述，定义有理数域为K，a+bi为中间域B，x ^4 - 2 = 0的根组成的域为E，其中扩张关系如下图所示

设E的8个自同构为G，其子集{1，σ，σ ^2, σ ^3}为U，U是一个自同构群，在G中的元素有些使B发生改变而又些使B保持不变，而U中的元素都使B保持不变。

现在知道E是K的正规扩张，E也是B的正规扩张，那么B是K的正规扩张吗？B是K中通过添加x ^2 + 1 = 0的根后扩张的，(B/K)=2,现在引入命题13：

如果σ1，σ2，…,σn为两两不同的E到E’的同构，并且K是这些同构的不动点体，则E在K上的扩张次数(E/K)>=n

现在把上述命题改为B到E的同构映射，且(B/K)=2，那么也就是说B到E最多有2个同构，把G的这8个同构作用在B上最多只能产生2种不同的映射，假设B中的元素为β，那么G中的元素x作用在β上时，x(β)可能还在B里，也可能跳出B到E里，如果B是正规扩张，那么这2种映射必须要是B的自同构，即x(β)还在B里面。因为x(β)还在B里面，U是一个使B保持不变的自同构群，所以U中的元素作用于x(β) 不变 即Ux(β)=x(β)，再两边乘以x ^-1就得到了x ^-1Ux(β) = β,也就是说x ^-1Ux使β不变，所以x ^-1Ux = U，通过上面的实际例子，把x取遍G中的所有元素，再结合$\tau \sigma {\tau }^{-1}={\sigma }^{-1}$可以很容易验证这个式子。

在引出新概念之前，先直接给出命题16：

设E是K上的具有群G的正规扩张，B为中间体，则E为B的正规扩张，也就是说存在自同构群使B保持不变。

因为E已经是K的正规扩张了，上面的命题断言了存在一个群U使B保持不变，对应上面的例子就是U = {1，σ，σ ^2, σ ^3}。现在来定义一个新概念，如果G中的所有元素作用在B上不会出现B中元素跳出域B的情况，即对于G中的元素x，满足x ^-1Ux = U，那么我们把U称作正规子群，要注意如果跳出了B就不是正规子群了，按上面的例子，B是由a+bi形式的元素组成的域，由于域中没有出现$\sqrt[4]{2}$，所以任何G中的同构作用在B上的元素都不会跳出B，所以U是正规子群。此时也就是说B到E的同构也就是B到B的自同构，并且这些自同构不会使K产生改变，所以B就是K的正规扩张。到这来我们发现G中的正规子群U与E中在U作用下不变的域B是一一对应的，并且B是K的正规扩张，这就是所谓的伽罗瓦基本定理。既然B是K的正规扩张，再来寻找B使K保持不变的自同构，由于U作用在B上保持不变，那么旁系xU的每一个元素作用在B上与x作用在B上的同构是相同的，所以xU对应于G中元作用在B上的不同同构，考虑两个旁系xU和yU的积，由于U是正规子群，所以y作用在B上并不会跳出B外面，所以xU*yU = xyU,于是旁系xU也组成了一个自同构群，把这样的群称作商群G/U,即U是正规子群，那么B就是正规扩张，B的自同构群就是商群G/U。

为了更加清晰，再举一个U不是正规子群的例子，如下图，B是中间域，K添加$\sqrt[4]{2}$生成的4次扩域：

按命题16，E是B的正规扩张，U = {1,τ}使B保持不变，U是G的子群，但不是正规子群。例如B中的元素$\sqrt[4]{2}$在σ的作用下生成了$i\sqrt[4]{2}$，该元素并不在B内，所以B也不是K的正规扩张，也就是说不存在4个B中的自同构使K保持不变，验证G的8个自同构，只有旁系1U和σ ^2 U是B的自同构，这2个自同构组成的群使域K($(\sqrt[4]{2}{)}^2$)保持不变，这个域记为B '，所以B是B '的正规扩张，通过添加x ^2 - √2的根扩张而成，但不是K的正规扩张，现在把{1U和σ ^2 U}记为U’,B '是K添加$(\sqrt[4]{2}{)}^2$的2次扩域，其中U '使B '保持不变，而且U '是商群G/U的正规子群，G/U的任何元素作用在B ‘上都不能使B’中的元素跳出B’，这样B '就是K的正规扩张，商群(G/U)/U '是B '的自同构，这里商群(G/U)有4个元素，而(G/U)/U '只有2个元素，一个是恒等变换，一个把$(\sqrt[4]{2}{)}^2$变成$-(\sqrt[4]{2}{)}^2$，这个元素是σU*U '。最后在这种场景下，正确的扩张顺序是K先添加x ^2 - 2=0的根正规扩张成B '，再添加x ^2 - √2=0根正规扩张成B，但是B不是K的正规扩张，最后添加x ^2+1=0的根正规扩张成E，扩张顺序如下图所示

参考代码

https://github.com/pfysw/CMath