图的深度优先搜索(DFS)和广度优先搜索算法(BFS)

图

1. 为什么不用线性表和树
2. 线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
3. 树也只能有一个直接前驱也就是父节点
4. 当我们需要表示多对多的关系时， 这里我们就用到了图。

图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为顶点。如图：

图的常用概念

1. 顶点(vertex)
2. 边(edge)
3. 路径
4. 无向图

5) 有向图
6) 带权图

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于 n 个顶点的图而言，矩阵是的 row 和 col 表示的是 1…n个点。

邻接表

1. 邻接矩阵需要为每个顶点都分配 n 个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
2. 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成

DFS、BFS

获取邻接节点

// 得到某节点的第一个邻接结点的下标
public int getFirstNeighbor(int index){
    
    
    for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) {
    
    
        if(edges[index][i] > 0){
    
    
            return i;
        }
    }
    return -1;
}

// 根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接节点

/**
 *
 * @param v1  当前节点
 * @param v2  当前节点的上一个邻接节点
 * @return
 */
public int getNextNeighbor(int v1, int v2){
    
    
    for (int i = v2 + 1; i < vertexList.size(); i++){
    
    
        if (edges[v1][i] > 0){
    
    
            return i;
        }
    }
    return  -1;
}

DFS

图的深度优先搜索(Depth First Search) 。

1. 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
2. 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
3. 显然，深度优先搜索是一个递归的过程

深度优先遍历算法步骤

1. 访问初始结点 v，并标记结点 v 为已访问。
2. 查找结点 v 的第一个邻接结点 w。
3. 若 w 存在，则继续执行 4，如果 w 不存在，则回到第 1 步，将从 v 的下一个结点继续。
4. 若 w 未被访问，对 w 进行深度优先遍历递归（即把 w 当做另一个 v，然后进行步骤 123）。
5. 查找结点 v 的 w 邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤 3。

// dfs
public void dfs(int index){
    
    
    // 如果已经被访问过, 则返回
    if (isVisited[index]){
    
    
        return;
    }
    // 标记为访问过, 然后输出
    isVisited[index] = true;
    System.out.println(getValueByIndex(index));

    int w = getFirstNeighbor(index);
    while (true){
    
    
        // 如果其邻接节点都已经被访问过
        if (w==-1){
    
    
            break;
        }
        if (!isVisited[w]){
    
      // 如果这个节点没有被访问过, 则访问
            dfs(w);
        }

        w = getNextNeighbor(index, w);
    }
}

// 重载dfs,防止非连通图的存在
public void dfs(){
    
    
    isVisited = new boolean[getNumOfVertex()];
    for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
    
    
        if (!isVisited[i]){
    
    
            dfs(i);
        }
    }
}

BFS

广度优先遍历基本思想

1. 图的广度优先搜索(Broad First Search) 。
2. 类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点

广度优先遍历算法步骤

1. 访问初始结点 v 并标记结点 v 为已访问。
2. 结点 v 入队列
3. 当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
4. 出队列，取得队头结点 u。
5. 查找结点 u 的第一个邻接结点 w。
6. 若结点 u 的邻接结点 w 不存在，则转到步骤 3；否则循环执行以下三个步骤：
   6.1 若结点 w 尚未被访问，则访问结点 w 并标记为已访问。
   6.2 结点 w 入队列6.3 查找结点 u 的继 w 邻接结点后的下一个邻接结点 w，转到步骤 6。

// bfs
public void bfs(int index){
    
    
    // 如果当前节点访问过, 则结束
    if (isVisited[index]){
    
    
        return;
    }
    // 标记为访问过
    isVisited[index] = true;
    // 输出当前节点
    System.out.println(getValueByIndex(index));
    // 队列, 存储当前遍历过的节点
    LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<>();
    // 当前访问节点
    int nowNode = index;

    int w;

    while (true){
    
    
        // 获取当前节点的第一个邻接节点
        w = getFirstNeighbor(nowNode);
        while (w!=-1){
    
      // 当前邻接节点没遍历完时

            if (!isVisited[w]){
    
      // 如果当前节点的w邻接节点没有访问过, 输出并标记, 然后加入队列

                isVisited[w] = true;
                System.out.println(getValueByIndex(w));
                queue.addLast(w);
            }
            // 当前节点的下一个邻接节点
            w = getNextNeighbor(nowNode, w);
        }

        // 队列为空, 说明所有节点都已经访问过了
        if (queue.isEmpty()){
    
    
            break;
        }
        // 令当前节点为队首的节点, 并从队列删除
        nowNode = queue.removeFirst();

    }

}

// 重载, 防止不是连通图
public void bfs(){
    
    

    isVisited = new boolean[getNumOfVertex()];
    for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
    
    
        if (!isVisited[i]){
    
    
            bfs(i);
            System.out.println("-------");
        }
    }
}

完整代码

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;

public class Graph {
    
    

    private ArrayList<String> vertexList;  // 存储顶点
    private int[][] edges;  // 存储图对应的邻结矩阵
    private int numOfEdges;  // 表示边的数目
    // 某个节点是否被访问
    private boolean[] isVisited;

    public static void main(String[] args) {
    
    

//        String Vertexs[] = {"A", "B", "C", "D", "E"};
        String Vertexs[] = {
    
    "1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};
        int n = Vertexs.length;
        // 创建图对象
        Graph graph = new Graph(n);
        // 循环的添加顶点
        for(String vertex: Vertexs) {
    
    
            graph.insertVertex(vertex);
        }


        //更新边的关系
        graph.insertEdge(0, 1, 1);
        graph.insertEdge(0, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 3, 1);
        graph.insertEdge(1, 4, 1);
        graph.insertEdge(3, 7, 1);
        graph.insertEdge(4, 7, 1);
        graph.insertEdge(2, 5, 1);
        graph.insertEdge(2, 6, 1);
        graph.insertEdge(5, 6, 1);

        // 添加边
        // A-B A-C B-C B-D B-E
//		graph.insertEdge(0, 1, 1); // A-B
//		graph.insertEdge(0, 2, 1); //
//		graph.insertEdge(1, 2, 1); //
//		graph.insertEdge(1, 3, 1); //
//		graph.insertEdge(1, 4, 1); //


        graph.showGraph();
        graph.dfs();
        System.out.println("---------------");
        graph.bfs();
    }


    public Graph(int n){
    
    
        // 初始化矩阵和vertexList
        edges = new int[n][n];
        vertexList = new ArrayList<>();
        numOfEdges = 0;
//        isVisited = new boolean[n];
//        System.out.println(Arrays.toString(isVisited));
    }

    // 得到某节点的第一个邻接结点的下标
    public int getFirstNeighbor(int index){
    
    
        for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) {
    
    
            if(edges[index][i] > 0){
    
    
                return i;
            }
        }
        return -1;
    }

    // 根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接节点

    /**
     *
     * @param v1  当前节点
     * @param v2  当前节点的上一个邻接节点
     * @return
     */
    public int getNextNeighbor(int v1, int v2){
    
    
        for (int i = v2 + 1; i < vertexList.size(); i++){
    
    
            if (edges[v1][i] > 0){
    
    
                return i;
            }
        }
        return  -1;
    }

    // bfs
    public void bfs(int index){
    
    
        // 如果当前节点访问过, 则结束
        if (isVisited[index]){
    
    
            return;
        }
        // 标记为访问过
        isVisited[index] = true;
        // 输出当前节点
        System.out.println(getValueByIndex(index));
        // 队列, 存储当前遍历过的节点
        LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<>();
        // 当前访问节点
        int nowNode = index;

        int w;

        while (true){
    
    
            // 获取当前节点的第一个邻接节点
            w = getFirstNeighbor(nowNode);
            while (w!=-1){
    
      // 当前邻接节点没遍历完时

                if (!isVisited[w]){
    
      // 如果当前节点的w邻接节点没有访问过, 输出并标记, 然后加入队列

                    isVisited[w] = true;
                    System.out.println(getValueByIndex(w));
                    queue.addLast(w);
                }
                // 当前节点的下一个邻接节点
                w = getNextNeighbor(nowNode, w);
            }

            // 队列为空, 说明所有节点都已经访问过了
            if (queue.isEmpty()){
    
    
                break;
            }
            // 令当前节点为队首的节点, 并从队列删除
            nowNode = queue.removeFirst();

        }

    }

    // 重载, 防止不是连通图
    public void bfs(){
    
    

        isVisited = new boolean[getNumOfVertex()];
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
    
    
            if (!isVisited[i]){
    
    
                bfs(i);
                System.out.println("-------");
            }
        }

    }

    // dfs
    public void dfs(int index){
    
    
        // 如果已经被访问过, 则返回
        if (isVisited[index]){
    
    
            return;
        }
        // 标记为访问过, 然后输出
        isVisited[index] = true;
        System.out.println(getValueByIndex(index));

        int w = getFirstNeighbor(index);
        while (true){
    
    
            // 如果其邻接节点都已经被访问过
            if (w==-1){
    
    
                break;
            }
            if (!isVisited[w]){
    
      // 如果这个节点没有被访问过, 则访问
                dfs(w);
            }

            w = getNextNeighbor(index, w);
        }
    }

    // 重载dfs,防止非连通图的存在
    public void dfs(){
    
    
        isVisited = new boolean[getNumOfVertex()];
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
    
    
            if (!isVisited[i]){
    
    
                dfs(i);
            }
        }
    }

    // 返回节点的个数
    public int getNumOfVertex(){
    
    
        return vertexList.size();
    }

    // 显示图对应的矩阵
    public void showGraph(){
    
    
        for (int[] link: edges){
    
    
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }

    // 得到边的数目
    public int getNumOfEdges(){
    
    
        return numOfEdges;
    }

    // 返回节点i(下标对应的结点数据)
    public String getValueByIndex(int i){
    
    
        return vertexList.get(i);
    }

    // 返回v1顶点与v2顶点之间的边的权值
    public int getWeight(int v1, int v2){
    
    
        return edges[v1][v2];
    }

    // 插入节点
    public void insertVertex(String vertex){
    
    
        vertexList.add(vertex);
    }

    // 添加边

    /**
     * 结点v1和节点v2之间存在一条边
     * @param v1
     * @param v2
     * @param weight 权重
     */
    public void insertEdge(int v1, int v2, int weight){
    
    
        edges[v1][v2] = weight;
        edges[v2][v1] = weight;
        numOfEdges++;
    }
}