1.基本概念
含有自变量、未知的一元函数
及其导数
的方程称为常微分方程。一般形式为:
它的求解就是寻找一个能够满足该微分方程的函数。
方程中函数最高阶导数的阶数
称为常微分方程的阶数。
阶常微分方程通解
一般含有
个待定系数,给出边始条件可以求出 特解。
2.常微分方程的符号格式
1)用Dmy表示函数的
阶导数,
阶常微分方程一般形式的符号格式为
2)阶常微分方程的
个边始条件的符号格式为
3.使用函数dsolve说明
1)每个输入参量包含三部分内容:微分方程、边始条件和界定的自变量,每部分都用单引号界定,两部分之间用逗号分隔,三部分顺序不可置换。微分方程部分不可以缺省。
2)若缺省部分或者全部“边始条件”,输出含有待定常数的微分方程通解。待定常数的数目等于缺省边始条件个数,默认用C1,C2等表示。

3)当“界定的自变量”缺省时,默认的自变量用字母“t”表示。
4)每条指令的输入参数ai最多有12组,因此可用于求解方程个数小于等于12的常微分方程组。
5)输出参量yi表示方程组的第i个解,求解一个常微分方程时可以省略。
4.计算举例
计算常微分方程
求解二阶常微分方程
计算通解:
y=dsolve('D2y+y=1-x^2','x')
y =
C5*cos(x) + C6*sin(x) - x^2 + 3
计算特解:
y=dsolve('D2y+y=1-x^2','y(0)=0.2,Dy(0)=0.5','x')
y =
sin(x)/2 - (14*cos(x))/5 - x^2 + 3
画出特解函数曲线图:ezplot
ezplot('sin(x)/2 - (14*cos(x))/5 - x^2 + 3',[-3 3])
计算常微分方程组
计算通解:
[u,v]=dsolve('Du=3*u-2*v,Dv=2*u-v')
u =
2*C9*exp(t) + C10*(exp(t) + 2*t*exp(t))
v =
2*C9*exp(t) + 2*C10*t*exp(t)
计算特解:
[u,v]=dsolve('Du=3*u-2*v,Dv=2*u-v','u(0)=1,v(0)=0','s')
u =
exp(s) + 2*s*exp(s)
v =
2*s*exp(s)