[Matlab科学计算] Matlab符号计算二：计算常微分方程解析解

含有自变量 $x$ 、未知的一元函数 $y(x)$ 及其导数 ${y}'(x)$ 的方程称为常微分方程。一般形式为：

$y^{m}(x)=F(x,y,{y}',...,y^{m-1})$

它的求解就是寻找一个能够满足该微分方程的函数 $y=f(x)$ 。

方程中函数最高阶导数 $y^{m}(x)$ 的阶数 $m$ 称为常微分方程的阶数。 $m$ 阶常微分方程通解 $f(x)$ 一般含有 $m$ 个待定系数，给出边始条件可以求出特解。

1）用Dmy表示函数 $y=f(x)$ 的 $m$ 阶导数， $m$ 阶常微分方程一般形式的符号格式为

$Dmy=F(x,y,Dy,D2y,...,D(m-1)y)$

2） $m$ 阶常微分方程的 $m$ 个边始条件的符号格式为

$y(x_{0})=y_{0},Dy(x_{0})=y_{1},...,D(m-1)y(x_{0})=y_{m-1}$

$[y1,y2,...,y12]=dsolve(a1,a2,...,a12)$

1)每个输入参量 $a1,a2,...,a12$ 包含三部分内容：微分方程、边始条件和界定的自变量，每部分都用单引号界定，两部分之间用逗号分隔，三部分顺序不可置换。微分方程部分不可以缺省。

2）若缺省部分或者全部“边始条件”，输出含有待定常数的微分方程通解。待定常数的数目等于缺省边始条件个数，默认用C1，C2等表示。

3）当“界定的自变量”缺省时，默认的自变量用字母“t”表示。

4）每条指令的输入参数ai最多有12组，因此可用于求解方程个数小于等于12的常微分方程组。

5）输出参量yi表示方程组的第i个解，求解一个常微分方程时可以省略。

求解二阶常微分方程 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+y=1-x^{2}$

计算通解：

y=dsolve('D2y+y=1-x^2','x')

y =
 
C5*cos(x) + C6*sin(x) - x^2 + 3

计算特解： $y(0)=0.2,{y}'(0)=0.5$

y=dsolve('D2y+y=1-x^2','y(0)=0.2,Dy(0)=0.5','x')

y =
 
sin(x)/2 - (14*cos(x))/5 - x^2 + 3

画出特解函数曲线图：ezplot

ezplot('sin(x)/2 - (14*cos(x))/5 - x^2 + 3',[-3 3])

$\left\{\begin{matrix} \frac{du}{dt}=3u-2v\\ \frac{dv}{dt}=v=2u \end{matrix}\right.$

计算通解：

[u,v]=dsolve('Du=3*u-2*v,Dv=2*u-v')

u =
 
2*C9*exp(t) + C10*(exp(t) + 2*t*exp(t))
 
 
v =
 
2*C9*exp(t) + 2*C10*t*exp(t)

计算特解： $u(0)=1,v(0)=0$

[u,v]=dsolve('Du=3*u-2*v,Dv=2*u-v','u(0)=1,v(0)=0','s')

u =
 
exp(s) + 2*s*exp(s)
 
 
v =
 
2*s*exp(s)