Educational Codeforces Round 106 (Rated for Div. 2) D. The Number of Pairs(数论)

题意：

给出三个数$c$,$d$,$x$,问有多少数对$(a,b)$ 满足 $c\cdot lcm(a,b)-d\cdot gcd(a,b)=x$

题解：

由 $lcm(a,b)=a\cdot b/gcd(a,b)$ 推出 $gcd(a,b)$是$lcm(a,b)$ 的因子，所以原式子可以变成 $gcd(a,b)\cdot (c\cdot k-d)=x$

那么说明$gcd(a,b)$ 是 $x$的因子,那么我们就可以枚举$x$的因子作为 $gcd(a,b)$ ,然后就可以求出 $lcm(a,b)$=$ \frac{x+d \cdot gcd(a,b)}{c}$

求出$gcd$ 和$lcm$ 后怎么计算出有多少$(a,b)$ 呢？那么就要理解$gcd$ 和$lcm$ 的深层含义了

$gcd(a,b)$ 其实就是$a$ ,$b$分别唯一分解后质数的交集，那么$lcm(a,b)$ 就是并集。

那么 $lcm(a,b)/gcd(a,b)$ 的质因子就是$a$或$b $ 两个数特有的，另一个数没有的，假设质因子有$n$种, 那么每个数要么在$a$要么在$b$ ,所以会有$2^n$ 种方案。

ps： 此题要预处理出每个数的质因子种类数，否则会喜得$TLE$。

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<ctime>
#define iss ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int>pii;
const int MAXN=2e7+2;
const int mod=1e9+7;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int prime[MAXN],cnt;
int num[MAXN];
int isprime[MAXN];
ll c,d,x;
void getprime(int n)
{
    
    
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
    
    
        if(!isprime[i])
        {
    
    
            prime[++cnt]=i;
            isprime[i]=i;
            num[i]=1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
    
    
            if(isprime[i]==prime[j]) num[i*prime[j]]=num[i];
            else num[i*prime[j]]=num[i]+1;
            isprime[i*prime[j]]=prime[j];
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}
ll cal(ll gd)
{
    
    
    ll ans=0;
    if(x%gd==0)
    {
    
    
        if((x+d*gd)%c==0&&(x+d*gd)/c>=gd&&((x+d*gd)/c)%gd==0)
        {
    
    
            
            ll lc=(x+d*gd)/c;
            int div=lc/gd;
            ans+=pow(2,num[div]);
        }
    }
    return ans;
}
int main()
{
    
    
    getprime(2e7);
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
    
    
        scanf("%lld%lld%lld",&c,&d,&x);
        int s=sqrt(x);
        ll ans=0;
        for(int i=1;i<=s;i++)
        {
    
    
            if(x%i==0)
            {
    
    
                ans+=cal(i);
                if(x/i!=i) ans+=cal(x/i);
            }
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
}