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1. 问题描述
在无限长的数轴（即 x 轴）上，我们根据给定的顺序放置对应的正方形方块。
第 i 个掉落的方块（positions[i] = (left, side_length)）是正方形，其中 left 表示该方块最左边的点位置(positions[i][0])，side_length 表示该方块的边长(positions[i][1])。
每个方块的底部边缘平行于数轴（即 x 轴），并且从一个比目前所有的落地方块更高的高度掉落而下。在上一个方块结束掉落，并保持静止后，才开始掉落新方块。
方块的底边具有非常大的粘性，并将保持固定在它们所接触的任何长度表面上（无论是数轴还是其他方块）。邻接掉落的边不会过早地粘合在一起，因为只有底边才具有粘性。
返回一个堆叠高度列表 ans 。每一个堆叠高度 ans[i] 表示在通过 positions[0], positions[1], ..., positions[i] 表示的方块掉落结束后，目前所有已经落稳的方块堆叠的最高高度。
示例 1:
输入: [[1, 2], [2, 3], [6, 1]] 输出: [2, 5, 5] 解释: 第一个方块positions[0] = [1, 2]掉落：_aa _aa -------方块最大高度为 2 。 第二个方块positions[1] = [2, 3]掉落：__aaa __aaa __aaa _aa__ _aa__ --------------方块最大高度为5。 大的方块保持在较小的方块的顶部，不论它的重心在哪里，因为方块的底部边缘有非常大的粘性。 第三个方块positions[1] = [6, 1]掉落：__aaa __aaa __aaa _aa _aa___a --------------方块最大高度为5。 因此，我们返回结果[2, 5, 5]。示例 2:
输入: [[100, 100], [200, 100]] 输出: [100, 100] 解释: 相邻的方块不会过早地卡住，只有它们的底部边缘才能粘在表面上。
注意:
1 <= positions.length <= 1000.1 <= positions[i][0] <= 10^8.1 <= positions[i][1] <= 10^6.
2. 思路与算法1：Naive approach
Difficult，先自吓得虎躯一震。先上一个傻办法摸摸底吧。
题目描述是不太想让人轻易明白。
首先，这就是一个俄罗斯方块游戏嘛（暴露年龄了？）。
其次，要注意最后返回值不是最终状态下各位置的最高高度，而是每个方块掉落后所形成的堆叠的最高高度的列表。
示例1方块掉落过程如下图所示（【枚举「图解掉落的方块」】 - 掉落的方块 - 力扣（LeetCode），由Gnakuw贡献）
思路如下：用一个固定的数组来维护所有位置到目前为止的堆叠高度。每个方块掉下时，更新
，并计算当前最大高度值。
每个方块pos=positions[k]掉下来时，它的底边所覆盖的范围为pos[0],...,pos[0]+pos[1]。因此需要查询数组在这个范围内的最大值，并且加上pos[1](代表当前方块的高度)，得到 数组
在这个范围内的最大值内的更新值。
维护返回结果列表。由于
的每个元素表示到当前块掉落为止的堆叠最大高度，所以一定是一个（非严格单调）递增数组。因此pos=positions[k]掉下后，ans[i]的更新很简单，就等于ans[i-1]与更新后的h[pos[0]]的两者之间的较大者。
class Solution:
def fallingSquares(self, positions: List[List[int]]) -> List[int]:
h = max(map(lambda x: x[0]+x[1], positions)) * [0]
ans = len(positions) * [0]
for i,pos in enumerate(positions):
maxtmp = max(h[pos[0]:pos[0]+pos[1]])
for k in range(pos[0],pos[0]+pos[1]):
h[k] = maxtmp + pos[1]
if i == 0:
ans[0] = h[pos[0]]
else:
ans[i] = max(ans[i-1],h[pos[0]])
return ans 提交超时，意料之中。
不仅仅是超时的问题，以上解法需要用一个很大的数组（其大小取决于
positions[i][0]+positions[i][1]的最大值）来维护所有位置到目前为止的堆叠高度，不知道这个是不是可以优化掉。
3. 思路与算法2：暴力枚举
上一个方法数组跟踪了每一个可能位置的高度，不仅仅是浪费了存储空间，还浪费了查询和更新时间。但是这并不是必须的。
用数组 记录各个方块掉落后的高度。对于第
个掉落的方块，如果它的底部区间与第
个掉落的方块有重叠的话，那么它掉落后的高度至少为
，其中
，即表示在方块
之前掉落的方块，
为 方块
的边长。
因此对于 方块 ，遍历此前已经掉落的方块，查询其中与 方块
有重叠的方块，求其各自对对应的堆叠高度的最大值，再加上 方块
的边长即得到 方块
掉落后的堆叠高度，即：
最后再针对数组 求部分最大值（到某项为止的最大值）列表即可。
这个方法的处理复杂度是与 positions.length相关的，而上一个方法是跟positions[i][0]+positions[i][1]的最大值相关联，而后者可能大得多。所以即便这个也是暴力算法，但是肯定肯定要比上一个方法要快得多。
class Solution:
def fallingSquares(self, positions: List[List[int]]) -> List[int]:
def isOverlap(i,j):
i_x,i_y = positions[i][0], positions[i][0]+positions[i][1]
j_x,j_y = positions[j][0], positions[j][0]+positions[j][1]
return (i_x-j_y) * (i_y-j_x) < 0
ans = len(positions) * [0]
for i in range(len(positions)):
for j in range(i):
if isOverlap(i, j):
# print(i,j)
ans[i] = max(ans[i],ans[j])
ans[i] += positions[i][1]
for i in range(1,len(ans)):
ans[i] = max(ans[i-1],ans[i])
return ans 执行用时：1664 ms, 在所有 Python3 提交中击败了5.22%的用户
内存消耗：15.5 MB, 在所有 Python3 提交中击败了81.74%的用户
4. 其它
有序集合、线段树。。。
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