C语言经典递归题目 -- 汉诺塔问题

题目描述

汉诺塔问题起源于一个传说

汉诺塔又被称为河内塔，传说，在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。


印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。


不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。


僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

我们现在要研究的就是在不同情况下盘子的移动顺序和移动的次数。

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画图分析

由简到繁，我们先从最简单的情况来分析：

~~只有一个盘子的时候：

只有一个盘子我们直接把它从A柱移到C柱就行，此时移动次数是1，移动顺序是 A->C

~~有两个盘子的时候：

有两个盘子的时候我们需要先将较小的盘子移动到B柱，然后将较大的盘子移动C柱，再将B柱上的盘子移动到C柱；此时移动次数是3，移动顺序是 A->B A->C B->C

~~有三个盘子的时候：

有三个盘子的时侯，我们把最小的盘子命名为1，中间的为2，最大的为3，那么移动顺序应该是：1号移到到C柱，2号移动到B柱，1号移动到B柱，3号移动到C柱，1号移动到A柱，2号移动到C柱，1号移动到C柱；一共移动7次，移动顺序是A->C A->B C->B A->C B->A B->C A->C


A->C A->B C->B
A->C B->A

B->C A->C

思路总结

在上面的移动过程中，B柱始终起着中转的作用，我们我们可以理解为：

• A柱：起始柱
• B柱：中转柱
• C柱：目标柱

同时，我们发现一个盘子时需要移动一次，两个盘子时需要移动3次，3个盘子时需要移动7次，所以总结规律：n个盘子需要移动的次数是 2ⁿ-1 次。

其次，我们可以把上面的移动过程简化为三个步骤：

1. 把n-1个盘子通过C柱移到B柱上。
2. 把A柱上的最后一个盘子移动到C柱上。
3. 把n-1个盘子通过A柱移动到C柱上。
   
   

比如，上面盘子个数为三的时候，我们可以分解为：第一步：1号移到到C柱，2号移动到B柱，1号移动到B柱；第二步：3号移动到C柱；第三步：1号移动到A柱，2号移动到C柱，1号移动到C柱。

所以，n个盘子的移动顺序为：


1、把n-1个盘子通过C柱移到B柱上。

2. 把A柱上的最后一个盘子移动到C柱上。

3. 把n-1个盘子通过A柱移动到C柱上。

代码实现

#include<stdio.h>

//Move函数，用来移动盘子，pos1表示起始柱，pos2表示目标柱
void Move(char pos1, char pos2)
{
    
    
	printf("%c->%c ", pos1, pos2);  //把pos1的盘子移动到pos2
}

//Hanoi函数，用来实现汉诺塔，其中n表示盘子的个数，pos1表示起始柱，pos2表示中转柱，pos3表示目标柱
void Hanoi(int n, char pos1, char pos2, char pos3)
{
    
    
	if (1 == n)  //当n==1时，直接把盘子从A柱移动到C柱
	{
    
    
		Move(pos1, pos3);  
	}
	else   //当n不等于1时，分三步走
	{
    
    
		//第一步：将n-1个盘子通过C柱移动到B柱,此时C柱时中转柱，B柱是目标柱
		Hanoi(n - 1, pos1, pos3, pos2);
		//第二步：把A柱最后一个盘子直接移动到C柱
		Move(pos1, pos3);
		//第三步：将n-1个盘子通过A柱移动到C柱，此时B柱是起始柱，A柱是中转柱，C柱是目标柱
		Hanoi(n - 1, pos2, pos1, pos3);
	}
}
int main()
{
    
    
	//定义一个变量来表示盘子的个数
	int n = 0;   

	//定义三个字符变量来表示三根柱子
	char pos1 = 'A';
	char pos2 = 'B';
	char pos3 = 'C';

	//调用hanoi函数
	Hanoi(1, pos1, pos2, pos3);  //n为1
	printf("\n");
	Hanoi(2, pos1, pos2, pos3);  //n为2
	printf("\n");
	Hanoi(3, pos1, pos2, pos3);  //n为3
	printf("\n");
	Hanoi(4, pos1, pos2, pos3);  //n为4
	printf("\n");
	
	return 0;
}

总结

知道了汉诺塔的逻辑后，我们重新回到这个问题，我们发现，要把64片金片全部挪完需要挪动 2⁶⁴-1 次，假设这个僧侣一秒钟移动一次，那么一共要挪 (2⁶⁴-1) / 3600 / 24 / 365 = 584,942,417,355(年)，那时候地球已经毁灭也不是没有可能，哈哈。