在复杂数据上应用核函数
像这种非线性可分的情况，但是该数据又存在某种可以识别的模式。我们就要使用一种称为 核函数(kernel) 的工具将数据转换成易于分类器理解的形式。
1、利用核函数将数据映射到高维空间
上图所示，数据点处于一个圆中，人们大脑能意识到，但是分类器只能识别分类器的结果大于0还是小于0。所以我们在二维坐标轴中插入直线，效果并不理想。所以考虑一种方法，可以对圆中的数据进行某种形式的转换，得到新的变量来表示数据。在这种情况下更容易得到大于0或则小于0的测试结果。在这里例子中，我们将数据从一个特征空间转换到另一个特征空间，在新的空间下处理数据，称之为 一个特征空间到另一个特征空间的映射。
通常这种映射是通过核函数来实现的。它能把数据从某些难以处理的形式，转化为另一个比较容易的处理形式。或则说是另一种距离计算方法。
SVM优化中一个特别好的地方在于，所有运算都可以写成 内积 的形式。向量的内积就是两个向量相乘，得到数值。我们可以把内积替换成核函数，而不必做简化处理。将内积转化为核函数，称为核技巧。
2、流行的核函数：径向基函数
径向基函数是最常用的核函数之一。是一个采用向量作为自变量的函数，能基于向量距离运算输出一个标量。这个距离可以是从<0,0>向量或则其他向量开始计算的距离。
径向基函数的高斯版本：
上述高斯核函数将数据从其特征空间映射到更高维的空间，具体来说这里是映射到无穷维的空间。对于上面的例子来说，我们意识到数据基本都在一个圆内，我们只需要度量数据点到圆心的距离即可。当然如果我们碰到了一个不是这种形式的数据集，那么我们就会陷入困境。在该数据集上使用高斯核函数可以得到很好的结果，当然在其他数据集上也能得到低错误率的结果。
下面我们对上次的代码进行修改使用核函数：
#kTup是一个包含核函数信息的元组
def kernelTrans(X, A, kTup):
m,n = shape(X)
K = mat(zeros((m,1)))
if kTup[0] == 'lin': K=X*A.T
elif kTup[0] == 'rbf':
for j in range(m):
deltaRow = X[j,:] - A
K[j] = deltaRow*deltaRow.T
K = exp(K/(-1*kTup[1]**2))
else: raise NameError("error")
return K
class optStruct:
def __init__(self,dataMatIn, classLabels, C, toler,kTup): # Initialize the structure with the parameters
self.X = dataMatIn
self.labelMat = classLabels
self.C = C
self.tol = toler
self.m = shape(dataMatIn)[0]
self.alphas = mat(zeros((self.m,1)))
self.b = 0
self.eCache = mat(zeros((self.m,2))) #first column is valid flag
self.K = mat(zeros((self.m, self.m)))
#计算k矩阵，只需计算一次
#kTup第一个参数：核函数类型的字符串
#另外两个参数：核函数需要的可选参数
for i in range(self.m):
self.K[:,i] = kernerlTrans(self.X, self.X[i,:], kTup)
def calcEk(oS, k):
fXk = float(multiply(oS.alphas,oS.labelMat).T*oS.K[:,k] + oS.b)
Ek = fXk - float(oS.labelMat[k])
return Ek
def selectJ(i, oS, Ei): #this is the second choice -heurstic, and calcs Ej
maxK = -1; maxDeltaE = 0; Ej = 0
oS.eCache[i] = [1,Ei] #set valid #choose the alpha that gives the maximum delta E
validEcacheList = nonzero(oS.eCache[:,0].A)[0]
if (len(validEcacheList)) > 1:
for k in validEcacheList: #loop through valid Ecache values and find the one that maximizes delta E
if k == i: continue #don't calc for i, waste of time
Ek = calcEk(oS, k)
deltaE = abs(Ei - Ek)
if (deltaE > maxDeltaE):
maxK = k; maxDeltaE = deltaE; Ej = Ek
return maxK, Ej
else: #in this case (first time around) we don't have any valid eCache values
j = selectJrand(i, oS.m)
Ej = calcEk(oS, j)
return j, Ej
def updateEk(oS, k):#after any alpha has changed update the new value in the cache
Ek = calcEk(oS, k)
oS.eCache[k] = [1,Ek]
def innerL(i, oS):
Ei = calcEk(oS, i)
if ((oS.labelMat[i]*Ei < -oS.tol) and (oS.alphas[i] < oS.C)) or ((oS.labelMat[i]*Ei > oS.tol) and (oS.alphas[i] > 0)):
j,Ej = selectJ(i, oS, Ei) #this has been changed from selectJrand
alphaIold = oS.alphas[i].copy(); alphaJold = oS.alphas[j].copy();
if (oS.labelMat[i] != oS.labelMat[j]):
L = max(0, oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
H = min(oS.C, oS.C + oS.alphas[j] - oS.alphas[i])
else:
L = max(0, oS.alphas[j] + oS.alphas[i] - oS.C)
H = min(oS.C, oS.alphas[j] + oS.alphas[i])
if L==H: print ("L==H"); return 0
eta = 2.0 * oS.K[i,j] - oS.K[i,i] - oS.K[j,j] #changed for kernel
if eta >= 0: print ("eta>=0"); return 0
oS.alphas[j] -= oS.labelMat[j]*(Ei - Ej)/eta
oS.alphas[j] = clipAlpha(oS.alphas[j],H,L)
updateEk(oS, j) #added this for the Ecache
if (abs(oS.alphas[j] - alphaJold) < 0.00001): print ("j not moving enough"); return 0
oS.alphas[i] += oS.labelMat[j]*oS.labelMat[i]*(alphaJold - oS.alphas[j])#update i by the same amount as j
updateEk(oS, i) #added this for the Ecache #the update is in the oppostie direction
b1 = oS.b - Ei- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,i] - oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[i,j]
b2 = oS.b - Ej- oS.labelMat[i]*(oS.alphas[i]-alphaIold)*oS.K[i,j]- oS.labelMat[j]*(oS.alphas[j]-alphaJold)*oS.K[j,j]
if (0 < oS.alphas[i]) and (oS.C > oS.alphas[i]): oS.b = b1
elif (0 < oS.alphas[j]) and (oS.C > oS.alphas[j]): oS.b = b2
else: oS.b = (b1 + b2)/2.0
return 1
else: return 0
def smoP(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter,kTup=('lin', 0)): #full Platt SMO
oS = optStruct(mat(dataMatIn),mat(classLabels).transpose(),C,toler, kTup)
iter = 0
entireSet = True; alphaPairsChanged = 0
while (iter < maxIter) and ((alphaPairsChanged > 0) or (entireSet)):
alphaPairsChanged = 0
if entireSet: #go over all
for i in range(oS.m):
alphaPairsChanged += innerL(i,oS)
print ("fullSet, iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter,i,alphaPairsChanged))
iter += 1
else:#go over non-bound (railed) alphas
nonBoundIs = nonzero((oS.alphas.A > 0) * (oS.alphas.A < C))[0]
for i in nonBoundIs:
alphaPairsChanged += innerL(i,oS)
print ("non-bound, iter: %d i:%d, pairs changed %d" % (iter,i,alphaPairsChanged))
iter += 1
if entireSet: entireSet = False #toggle entire set loop
elif (alphaPairsChanged == 0): entireSet = True
print ("iteration number: %d" % iter)
return oS.b,oS.alphas
为了使用核函数，先期的两个函数需要一些修改。
在测试中使用核函数：
#利用核函数进行分类的径向基测试
def testRbf(k1=1.3):
dataArr,labelArr = loadDataSet('testSetRBF.txt')
b,alphas = smoP(dataArr, labelArr, 200, 0.0001, 10000, ('rbf', k1)) #C=200 important
datMat=mat(dataArr); labelMat = mat(labelArr).transpose()
#矩阵.A 转化为数组类型
svInd=nonzero(alphas.A>0)[0]
print(svInd)
print('**********************')
sVs=datMat[svInd] #get matrix of only support vectors
labelSV = labelMat[svInd];
print ("there are %d Support Vectors" % shape(sVs)[0])
m,n = shape(datMat)
errorCount = 0
for i in range(m):
kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf', k1))
predict=kernelEval.T * multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b
if sign(predict)!=sign(labelArr[i]): errorCount += 1
print ("the training error rate is: %f" % (float(errorCount)/m))
dataArr,labelArr = loadDataSet('testSetRBF2.txt')
errorCount = 0
datMat=mat(dataArr); labelMat = mat(labelArr).transpose()
m,n = shape(datMat)
for i in range(m):
kernelEval = kernelTrans(sVs,datMat[i,:],('rbf', k1))
predict=kernelEval.T * multiply(labelSV,alphas[svInd]) + b
if sign(predict)!=sign(labelArr[i]): errorCount += 1
print ("the test error rate is: %f" % (float(errorCount)/m))
上述代码只有一个可选的输入参数，就是高斯径向基函数中的一个用户定义变量。
优化过程中寻找alpha非0的值，从而得到对应的支持向量，也得到了这些支持向量和alpha的类别标签值。
测试的结果如下所示：
我们可以改变不同的K1参数，来观察错误率，训练错误率，支持向量的个数随K1变化的情况。
上图中，支持向量有85个，优化算法必须使用这些向量才能对数据进行正确的分类。这就给读者径向基函数到达率太小的感觉，我们可以改变K1的值再进行观察。
现在图中只有27个支持向量，同时此刻的测试错误率也在下降。该数据集在设置的某处存在着最优解，如果降低K1，那么训练的错误率会降低，但是测试错误率却会提高。
支持向量的数目存在一个最优值。SVM的优点在于它能对数据进行高效分类。如果支持向量
太 少 ，就可能会得到一个很差的决策边界（下个例子会说明这一点）；如果支持向量太多，也就
相当于每次都利用整个数据集进行分类，这种分类方法称为k近邻。