剑指 Offer 41. 数据流中的中位数解析

剑指 Offer 41. 数据流中的中位数

如何得到一个数据流中的中位数？如果从数据流中读出奇数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后位于中间的数值。如果从数据流中读出偶数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后中间两个数的平均值。

例如，

[2,3,4] 的中位数是 3

[2,3] 的中位数是 (2 + 3) / 2 = 2.5

设计一个支持以下两种操作的数据结构：

void addNum(int num) - 从数据流中添加一个整数到数据结构中。
double findMedian() - 返回目前所有元素的中位数。

示例 1：

输入：
[“MedianFinder”,“addNum”,“addNum”,“findMedian”,“addNum”,“findMedian”]
[[],[1],[2],[],[3],[]]
输出：[null,null,null,1.50000,null,2.00000]

解决方案：

由题目得，数据流是将数值一个一个地输入程序，即过程中，中位数的变化是逐元素的。

其过程如下所示,用红色表示中位数节点：

从元素的逐个添加过程，我们可以发现，当我们将已有的n个数据分解为两部分， S s m a l l = { x ∣ x < = 中位数 } , S b i g = { x ∣ x > 中位数 } S_{small}=\{x|x<=中位数\},S_{big}=\{x|x>中位数\} Ssmall​={ x∣x<=中位数},Sbig​={ x∣x>中位数}

$$\begin{gathered} 当n为奇数时，len(S_{small})=\frac{n+1}{2}，len(S_{big})=\frac{n-1}{2}; \\ 当n为偶数时，len(S_{small})=\frac{n}{2}，len(S_{big})=\frac{n}{2}; \end{gathered}$$

若我们能够通过算法使得在数据插入后，仍能将已有数据管理为上述结构，则当我们想要获取中位数时，中位数为：

$$\begin{gathered} 设A为S_{small}集中的最大值,B为S_{big}中的最小值,则： \\ 当n为奇数时，中位数=A \\ 当n为偶数时，中位数=\frac{A+B}{2} \end{gathered}$$

此时，我们将问题转化，如何将数据管理成上述结构；

从元素数量的角度出发，可以发现，当n为奇数时，应向$S_{big}$中添加元素；n为偶数时，应向$S_{small}$中添加元素，并使得两个集合中的元素仍满足定义。

进一步地，问题转为如何插入使得集合中元素仍满足定义。

新进元素C有以下情况：

1. C ≤ A
2. A < C < B
3. B≤C

当n为奇数时，对于以上三种情况，需要执行以下操作

1. 将C插入$S_{small}$
2. 将C插入$S_{small}$
3. 将B取出，插入$S_{small}$, 再将C插入$S_{big}$

值得注意的是，存在A≤B的关系，则当将C插入$S_{big}$时，此时$S_{big}$的最小值new_B的值为：

1. new_B = C
2. new_B = C
3. new_B = B

所以上述操作可以简写为，将C插入$S_{big}$，将new_B取出插入$S_{small}$。

当n为偶数时，对于以上三种情况，需要执行以下操作：

1. 将A取出，插入$S_{big}$, 将C插入$S_{small}$
2. 将C插入$S_{big}$
3. 将C插入$S_{big}$

与n为奇数时，同理，该操作可简写为，将C插入$S_{small}$,将new_A取出插入$S_{big}$。

由于我们需要频繁地从$S_{small}$取出最大值，从$S_{big}$取出最小值，所以我们可以使用大顶堆和小顶堆分别维护$S_{small}$和$S_{big}$，****堆的实现代码可以看博客：堆的图示以及代码实现**。

实现代码如下：

class MedianFinder:

    def __init__(self):
        """
        initialize your data structure here.
        """
        self.min_heap = Heap(lambda x,y:x<=y)
        self.max_heap = Heap(lambda x,y:x>=y)

    def addNum(self, num: int) -> None:
        if len(self.min_heap) != len(self.max_heap):
            self.min_heap.insert(num)
            self.max_heap.insert(self.min_heap.delete())
        else:
            self.max_heap.insert(num)
            self.min_heap.insert(self.max_heap.delete())

    def findMedian(self) -> float:
        # return [self.min_heap.store,[],self.max_heap.store,[],[]]
        return self.min_heap[0] if len(self.min_heap) != len(self.max_heap) else (self.min_heap[0] + self.max_heap[0])/2.0