LaTeX定理和证明 Theorems & Proofs
原 文：Theorems and proofs
译 者：Xovee
翻译时间：2023年7月8日
文章目录
介绍
数学文档中通常有着许多需要特殊格式的内容，例如定理、定义、命题、议论、推论、引理等等。本文介绍如何在LaTeX中定义这些环境。
带有编号的LaTeX环境可以由命令\newtheorem创建，它有两个参数：
\newtheorem{theorem}{Theorem}
- 第一个参数是环境的命名
- 第二个参数是环境在文档中所显示出来的文字。这些文字的格式是黑体，出现在环境的开头。
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\begin{document}
\section{Introduction}
Theorems can easily be defined:
\begin{theorem}
Let \(f\) be a function whose derivative exists in every point, then \(f\)
is a continuous function.
\end{theorem}
\end{document}
这个例子的输出是：
带有编号的定理、定义、推论和引理（Theorems, Definitions, Corollaries, and Lemmas）
带有编号的环境由两个额外的参数控制，例如在\newtheorem中：
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{corollary}{Corollary}[theorem]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\begin{document}
\section{Introduction}
Theorems can easily be defined:
\begin{theorem}
Let \(f\) be a function whose derivative exists in every point, then \(f\) is
a continuous function.
\end{theorem}
\begin{theorem}[Pythagorean theorem]
\label{pythagorean}
This is a theorem about right triangles and can be summarised in the next
equation
\[ x^2 + y^2 = z^2 \]
\end{theorem}
And a consequence of theorem \ref{pythagorean} is the statement in the next
corollary.
\begin{corollary}
There's no right rectangle whose sides measure 3cm, 4cm, and 6cm.
\end{corollary}
You can reference theorems such as \ref{pythagorean} when a label is assigned.
\begin{lemma}
Given two line segments whose lengths are \(a\) and \(b\) respectively there is a
real number \(r\) such that \(b=ra\).
\end{lemma}
这个例子的输出是：
在这个例子中，我们定义了三个新的环境。
-
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
我们在最后加入了一个额外的参数[section]，这个参数的作用是在每一个新的章节中重新对该环境进行计数。例如1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 2.1, 2.2, … -
\newtheorem{corollary}{Corollary}[theorem]
类似的，每一次一个新的theorem定义的时候，该环境会重新计数。 -
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
在这个例子中，我们定义的lemma环境将会使用与theorem环境一样的计数。扫描二维码关注公众号，回复： 16432700 查看本文章
有些著名的定理有着自己的名字，你可以显式地输出它们的名字：\begin{theorem}[Pythagorean theorem]。
与LaTeX中许多其他的带编号环境类似，你可以使用\label命令来引用它们。
无编号的类定理环境
你也可以创建不带有编号的类似于定理的环境，用于评论或者示例等用途。amsthm包提供了这种功能。
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}
\newtheorem*{remark}{Remark}
\begin{document}
Unnumbered theorem-like environments are also possible.
\begin{remark}
This statement is true, I guess.
\end{remark}
\end{document}
这个例子的输出是：
命令\newtheorem*的语法与没有星号的版本的语法相同（除了计数器参数）。在上面的例子中，我们创建了名为remark的无编号环境。
定理样式
有些时候我们需要使用样式来区分不同的环境，例如在一个文档中，使用不一样的样式来区分“定理”和“定义”。我们可以使用amsthm包来做到这一点：
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Definition}[section]
\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remark}{Remark}
\begin{document}
\section{Introduction}
Unnumbered theorem-like environments are also possible.
\begin{remark}
This statement is true, I guess.
\end{remark}
And the next is a somewhat informal definition
\begin{definition}[Fibration]
A fibration is a mapping between two topological spaces that has the homotopy lifting property for every space \(X\).
\end{definition}
\end{document}
这个例子的输出是：
命令\theoremstyle{ }设置了该编号环境的样式。在这个例子中，我们使用了两种样式：style和definition。Style样式使用斜体和Roman字体，而definition样式使用粗体和Roman字体。
更多类型的样式请见文末。
证明
在数学文档中，证明是非常重要的一个部分。它的样式通常也需要与正文区分开来。amsthm包提供了proof环境：
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\begin{document}
\section{Introduction}
\begin{lemma}
Given two line segments whose lengths are \(a\) and \(b\) respectively there
is a real number \(r\) such that \(b=ra\).
\end{lemma}
\begin{proof}
To prove it by contradiction try and assume that the statement is false,
proceed from there and at some point you will arrive to a contradiction.
\end{proof}
\end{document}
这个例子的输出是：
我们可以看到，Proof的字体是斜体，它与之后的文字之间有一小段空白空间，并且在证明的最后有一个特殊符号（这个例子中是方框，我们可以使用其他的特殊符号）。
更改QED符号
证明最后的那个特殊符号被称为QED符号：
QED is an initialism of the Latin phrase quod erat demonstrandum, meaning “thus it has been demonstrated” – Wikipedia
你可以方便地更改QED符号：
\renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$}
你也可以直接使用QED三个字母作为QED符号：
\renewcommand\qedsymbol{QED}
请看下面的例子：
\documentclass{article}
\usepackage[english]{babel}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\begin{document}
\section{Introduction}
\begin{lemma}
Given two line segments whose lengths are \(a\) and \(b\) respectively there
is a real number \(r\) such that \(b=ra\).
\end{lemma}
\renewcommand\qedsymbol{$\blacksquare$}
\begin{proof}
To prove it by contradiction try and assume that the statement is false,
proceed from there and at some point you will arrive to a contradiction.
\end{proof}
\renewcommand\qedsymbol{QED}
\begin{proof}
To prove it by contradiction try and assume that the statement is false,
proceed from there and at some point you will arrive to a contradiction.
\end{proof}
\end{document}
可选的定理样式
definition：黑体标题，Roman正文。一般用于定义（definition）、条件（condition）、问题（problem）和例子（example）中。plain：黑体标题，斜体正文。一般用于定理（theorem）、引理（lemma）、推论（corollary）、命题（proposition）和猜想（conjecture）中。remark：斜体标题，Roman正文。一般用于评论（remark）、备注（notes）、注释（annotation）、申明（claim）、案例（case）、致谢（acknowledgment）和结论（conclusion）中。