a x + b y = d ， d 为 a x + b y 的 最 小 正 整 数 d = g c d ( a , b ) a x + b y = b x 1 + ( a % b ) y 1 辗 转 相 除 g c d ( a , b ) x i + 0 y i = d , 当 x i 取 1 时 ， 取 得 最 小 值 d \begin{aligned} &ax+by=d，d为ax+by的最小正整数d=gcd(a,b)\\ &ax+by=bx_1+(a\%b)y_1\\ &辗转相除\\ &gcd(a,b)x_i+0y_i=d,当x_i取1时，取得最小值d \end{aligned} ax+by=d，d为ax+by的最小正整数d=gcd(a,b)ax+by=bx1+(a%b)y1辗转相除gcd(a,b)xi+0yi=d,当xi取1时，取得最小值d
a x + b y = d ， d 为 a x + b y 的 最 小 正 整 数 d = g c d ( a , b ) 假 设 最 小 正 整 数 为 s ， 首 先 证 明 s 是 a 和 b 的 公 因 子 ， 采 用 反 证 法 假 设 s 不 是 a 的 因 子 ， 则 a = q s + r ( r > = 0 且 r < s ) r = a − q s = a − q ( a x t + b y t ) , t 为 使 得 a x + b y = s 的 x , y 值 r = ( 1 − q s ) a + ( − y t ) b = a x m + b y m 上 文 说 到 s 为 最 小 的 正 整 数 ， 可 知 r 只 能 等 于 0 了 ， 否 则 矛 盾 。 所 以 s 必 为 a 的 因 子 ， 同 理 可 得 s 为 b 的 因 子 。 g c d ( a , b ) 为 a 与 b 的 最 大 公 因 子 ， 因 此 我 们 还 要 证 明 非 最 大 公 因 子 不 符 合 条 件 a x + b y = k , k 为 a 和 b 的 一 个 非 最 大 公 因 子 a g c d ( a , b ) x + b g c d ( a , b ) y = k g c d ( a , b ) ， 可 得 ， k 必 须 为 最 大 公 因 子 ， 否 则 等 式 不 成 立 \begin{aligned} &ax+by=d，d为ax+by的最小正整数d=gcd(a,b)\\ &假设最小正整数为s，首先证明s是a和b的公因子，采用反证法\\ &假设s不是a的因子，则a=qs+r \quad(r>=0且r<s)\\ &r=a-qs=a-q(ax_t+by_t),t为使得ax+by=s的x,y值\\ &r=(1-qs)a+(-y_t)b=ax_m+by_m\\ &上文说到s为最小的正整数，可知r只能等于0了，否则矛盾。\\ &所以s必为a的因子，同理可得s为b的因子。\\ &gcd(a,b)为a与b的最大公因子，因此我们还要证明非最大公因子不符合条件\\ &ax+by= k,k为a和b的一个非最大公因子\\ &\frac{a}{gcd(a,b)}x+\frac{b}{gcd(a,b)}y=\frac{k}{gcd(a,b)}，可得，k必须为最大公因子，否则等式不成立 \end{aligned} ax+by=d，d为ax+by的最小正整数d=gcd(a,b)假设最小正整数为s，首先证明s是a和b的公因子，采用反证法假设s不是a的因子，则a=qs+r(r>=0且r<s)r=a−qs=a−q(axt+byt),t为使得ax+by=s的x,y值r=(1−qs)a+(−yt)b=axm+bym上文说到s为最小的正整数，可知r只能等于0了，否则矛盾。所以s必为a的因子，同理可得s为b的因子。gcd(a,b)为a与b的最大公因子，因此我们还要证明非最大公因子不符合条件ax+by=k,k为a和b的一个非最大公因子gcd(a,b)ax+gcd(a,b)by=gcd(a,b)k，可得，k必须为最大公因子，否则等式不成立
贝祖定理证明
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