假设检验（一）假设检验的基本概念

假设检验（Test of Hypothesis）是指，先对总体或总体的性质提出某项假设，再利用样本所提供的信息对提出的假设进行检验，以判断该假设是否成立。假设检验可分为以下两类：

1. 对总体分布的某个参数提出假设，用来自总体的样本检验该假设是否成立，称这一类为参数假设检验。
2. 对总体的性质提出假设，用来自总体的样本检验该假设是否成立，称这一类为非参数假设检验。

假设与检验规则

假设检验问题的首要任务是恰当的提出假设命题。以参数假设检验为例，设总体 $X$ 的分布函数为 $F(x;\theta ),\theta \in \Theta$，参数 $\theta$ 未知。针对 $\theta$ 提出假设的一般形式为“$\theta \in {\Theta }_0$”。以 $H_0$ 表示这一假设并称之为原假设或零假设，即
$$H_0:\theta \in {\Theta }_0$$如果检验的结果拒绝了原假设 $H_0$，那就意味着接受了有关 $\theta$ 的另一个假设“$\theta \in {\Theta }_1$”。以 $H_1$ 表示这一假设并称之为备择假设（Alternative hypothesis），即
$$H_1:\theta \in {\Theta }_1$$ 从表面上看，拒绝 $H_0$ 意味着接受 $H_1$，反之，接受 $H_0$ 意味着拒绝 $H_1$，非此即彼，原假设和备择假设似乎具有同等地位。其实不然，在数理统计中，原假设是要受到保护的，拒绝它需要有力的证据，而备择假设则没有这样的待遇。

在提出了原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$ 之后，接着便要检验这对假设，也就是要制定一个规则，它应当做到，当一次抽样获得样本值 $(x_1,...,x_n{)}^T$ 时，决定接受 $H_0$ 还是接受 $H_1$。

两类错误

在检验假设 $H_0$ 时，人们是根据抽样后得到的样本值 $(x_1,...,x_n{)}^T$ 做出拒绝或接受 $H_0$ 的决策。由于样本具有随机性，因而可能会出现所作决策与真实情况不符的错误。错误分为两类：

1. 第Ⅰ类错误（弃真错误）：当原假设 $H_0:\theta \in {\Theta }_0$ 为真，而样本值却落在拒绝域 $W$ 内（因而要拒绝原假设），错误概率为 $P_{\theta }(W)$
2. 第Ⅱ类错误（存伪错误）：当原假设 $H_0:\theta \in {\Theta }_0$ 不真，而样本值却落在接受域 $W^c$ 内（因而要接受原假设），错误概率为 $P_{\theta }(W^c)$

假设检验的一般步骤

1. 恰当的提出原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$；
2. 构造检验统计量 $Z$，并在 $H_0$ 成立的前提下确定 $Z$ 的概率分布，要求 $Z$ 的分布不依赖于任何未知参数；
3. 确定拒绝域。在 $H_0$ 成立时，以不利于 $H_0$ 的方式设定拒绝域的形式 W = { Z ∈ A } W=\{Z \in A\} W={ Z∈A}，再根据给定的水平 $\alpha$ 和 $Z$ 的分布，由 P H 0 { W } ≤ α P_{H_0}\{W\} \le \alpha PH0​​{ W}≤α 确定拒绝域 $W$；
4. 进行一次抽样，根据得到的样本值与上面确定的拒绝域，对 $H_0$ 做出拒绝或接受的判断。

参考文献

[1] 《应用数理统计》，施雨，西安交通大学出版社。