【自动控制原理】第三章时域分析法

其他 2025-04-08 07:34:37 阅读次数: 0

1. 时域分析的基本概念和典型测试信号

时域分析：典型测试信号下，系统的时域响应 $C(t)$ 的动态性能（快）和稳态性能（准）分析。

典型测试信号

名称	时域表达式	复域表达式
单位脉冲函数	$\delta (t)$	$1$
⭐单位阶跃函数	$1(t)$	$\frac{1}{s}$
单位斜坡函数	$t$	$\frac{1}{s^2}$
单位加速度函数	$\frac{1}{2}t^{2}$	$\frac{1}{s^3}$
正弦函数	$A\sin\omega t$	$\frac{A\omega}{s^{2}+\omega^{2}}$

阶跃对系统而言是最严峻的工作状态，时域下的所有性能指标均是在阶跃作用下定义的。

动态过程和稳态过程

系统的时间响应，由动态过程和稳态过程两部分组成。

动态过程：系统在典型信号输入下，系统的输出量从初始状态到最终状态的响应过程。

稳态过程：系统在典型信号输入下，当 $t\rightarrow \infty$ 时，系统输出量的表现方式。

性能指标

动态性能指标（快）

延迟时间 $(t_d)$	响应第一次达到稳态值的 50% 所需时间。
上升时间 $(t_r)$	响应从稳态值的 10% 上升到 90% 所需时间 (无超调时，指响应从 0 上升到稳态值所需时间)。
峰值时间 $(t_p)$	响应超过稳态值达到第一个峰值的时间。
调节时间 $(t_s)$	在误差带 (允许误差 $\Delta$ )内，响应曲线达到并不再超出稳态值的最小时间。
超调量 $(\sigma\%)$	响应的最大值超过稳态值的百分比。 $\sigma\%=\frac{c\left ( t_p \right )-c\left ( \infty \right )}{c\left ( \infty \right )}\times 100\%$
振荡次数 $(N)$	在调节时间内，偏离稳态值的振荡次数，或曲线穿越稳态值的次数。

稳态性能指标（准）

稳态误差 $e_{ss}$

对于单位反馈系统，稳态误差为系统响应的实际值与期望值(输入量)之差在 $t\to\infty$ 时的极限值。公式为 $e_{ss}=\lim_{s\to0}sE(s)$ 。是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。

2. 时域响应的求解

无初始条件——直接乘

【计算题】若系统的传递函数为 $\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{2}{s^2+3s+2}$ ，求阶跃输入 $r(t)=1(t)$ 时，系统的输出响应。
$C(s)=\frac{C(s)}{R(s)}\times R(s)=\frac{2}{s^{2}+3s+2}\times\frac{1}{s}=\frac{2}{s(s^{2}+3s+2)}=\frac{2}{s(s+1)(s+2)}=\frac{1}{s}-\frac{2}{s+1}+\frac{1}{s+2}$

拉氏反变换可得： $C(t)=1-2\mathrm{e}^{-t}+\mathrm{e}^{-2t}$

有初始条件——还原微分方程

【计算题】若系统的传递函数为： $\frac{C(s)}{R(s)}=\frac2{s^2+3s+2}$ ，且初始条件 $c(0)=-1,\dot{c}(0)=0$ ，求阶跃输入 $r(t)=1(t)$ 时，系统的输出响应 $c(t)$ 。

还原成微分方程可得： $(s^2+3s+2)C(s)=2R(s)$

拉氏反变换得： $\frac{d^{2}c(t)}{dt^{2}}+3\frac{dc(t)}{dt}+2c(t)=2r(t)$

因为 $L[\frac{df(t)}{dt}]=sF(s)-f(0)$ ， $L[\frac{d^2f(t)}{dt^2}]=s^2F(s)-sf(0)-f^{\prime}(0)$ ，代入初始条件进行拉氏变换： $s^{2}C(s)-sc(0)-\dot{c}(0)+3sC(s)-3c(0)+2C(s)=2R(s)$