高斯信道下分集和复用的信道容量比较

0. 问题

假定当前的通信系统由K条完全独立的加性高斯白噪声信道组成，每条信道的噪声功率统一为N0，信号总功率为P，每个独立信道的信号都均匀分配功率。如果传输系统采用分集提升性能，每条信道传输相同的数据，则信道容量是多少?如果传输系统采用复用提升性能，每条信道传输不同的数据，则信道容量又是多少?结合上面公式,说明分别在什么情况下，分集/复用取得增益更大。

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1. 系统模型

• 系统由$K$ 条完全独立的加性高斯白噪声（AWGN）信道组成。
• 每条信道的噪声功率为$N_0$。
• 信号总功率为$P$，均匀分配给每条信道，因此每条信道的信号功率为$P/K$。
• 信道的带宽为$B$。

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2. 分集策略下的信道容量

在分集策略中，所有$K$ 条信道传输相同的数据，相当于将信号在$K$ 条信道上重复发送。由于信道是独立的，接收端可以通过合并技术（如最大比合并）提升信噪比（SNR）。

信道容量计算

• 每条信道的信噪比为：
  $${\text{SNR}}_k=\frac{P/K}{N_0}$$
• 通过分集合并后，等效信噪比变为：
  $${\text{SNR}}_{\text{分集}}=K\cdot \frac{P/K}{N_0}=\frac{P}{N_0}$$
• 因此，分集策略下的信道容量为：
  $$C_{\text{分集}}=B\cdot {\log }_2\left(1+\frac{P}{N_0}\right)$$

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3. 复用策略下的信道容量

在复用策略中，每条信道传输不同的数据，相当于将总功率$P$ 均匀分配给$K$ 条信道，同时利用所有信道的容量。

信道容量计算

• 每条信道的信噪比为：
  $${\text{SNR}}_k=\frac{P/K}{N_0}$$
• 因此，复用策略下的总信道容量为：
  $$C_{\text{复用}}=K\cdot B\cdot {\log }_2\left(1+\frac{P/K}{N_0}\right)$$

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4. 分集与复用的比较

分集增益更大的情况

• 当信噪比$\frac{P}{N_0}$ 较低时，分集策略可以通过合并多条信道的信号提升等效信噪比，从而显著提高信道容量。
• 例如，在低信噪比条件下，分集策略的信道容量$C_{\text{分集}}$ 可能高于复用策略的信道容量$C_{\text{复用}}$。

复用增益更大的情况

• 当信噪比$\frac{P}{N_0}$ 较高时，复用策略可以通过同时利用多条信道传输不同的数据，从而显著提高信道容量。
• 例如，在高信噪比条件下，复用策略的信道容量$C_{\text{复用}}$ 可能高于分集策略的信道容量$C_{\text{分集}}$。

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5. 总结

• 分集策略：
  信道容量为：
  $$C_{\text{分集}}=B\cdot {\log }_2\left(1+\frac{P}{N_0}\right)$$
  分集在低信噪比条件下增益更大。

• 复用策略：
  信道容量为：
  $$C_{\text{复用}}=K\cdot B\cdot {\log }_2\left(1+\frac{P/K}{N_0}\right)$$
  复用在高信噪比条件下增益更大。

• 选择策略：

  • 在低信噪比条件下，优先选择分集策略。
  • 在高信噪比条件下，优先选择复用策略。