MIMO系统信道容量（开环与闭环）

矩阵知识补充:
矩阵$A{A}^{\ast }$（其中$A$是一个复数矩阵，$A^{\ast }$是其共轭转置）的迹（即对角元素之和）具有几个重要的特性：

1. 非负性：由于$A{A}^{\ast }$是正定或至少是半正定的，它的对角元素必然是实数，它的所有特征值都是非负实数。因为矩阵的迹等于其所有特征值的和，所以$A{A}^{\ast }$的迹也是非负实数。

2. 与内积的关系：在某种意义上，$A{A}^{\ast }$的迹可以看作是矩阵$A$各列向量之间内积的总和。具体来说，如果将$A$的列视为向量，则$A{A}^{\ast }$的迹实际上是这些列向量各自的模长平方和，反映了$A$在空间中扩展或压缩体积的能力。

3. 度量矩阵的规模：在应用中，$A{A}^{\ast }$的迹常被用来衡量矩阵的总体“规模”或“能量”。例如，在信号处理领域，对于信号的自相关矩阵（通常形如$A{A}^{\ast }$），其迹可以解释为信号的总功率。

4. 

5. 

6. 

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MIMO系统信道容量表达式中的行列式（det）？

1. 从单天线到多天线的推广

在单天线（SISO）系统中，香农容量公式为：
$$C={\log }_2\left(1+\text{SNR}\cdot |h{|}^2\right)$$
其中$h$是信道增益，容量与信道的功率增益$|h{|}^2$直接相关。

在多天线（MIMO）系统中，信道变成一个矩阵$\mathbf{H}$，其容量不再是单一信道的相加，而是通过矩阵的奇异值（或特征值）表征多个并行的子信道。每个子信道相当于独立的传输路径，它们的容量可以叠加。

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2. 为什么需要行列式（det）？

行列式的物理意义在于它量化了一个线性变换的“体积缩放因子”。在MIMO信道中，$det(I+SNR\ast H^{H}H)$ 的作用是：

• 将所有并行子信道的贡献统一表达：矩阵${\mathbf{H}}^H\mathbf{H}$的特征值表示各个子信道的增益（平方奇异值${\sigma }_i^2$）。
• 乘积反映总容量：行列式是矩阵特征值的乘积，因此：
  $$\det (\mathbf{I}+\text{SNR}\cdot {\mathbf{H}}^H\mathbf{H})=\prod _{i=1}^{n_T}\left(1+\text{SNR}\cdot {\sigma }_i^2\right)$$
  每个因子$(1+\text{SNR}\cdot {\sigma }_i^2)$对应一个子信道的容量，总容量是它们的乘积取对数。

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3. 数学推导步骤

（1）奇异值分解（SVD）

对MIMO信道矩阵进行奇异值分解：
$$\mathbf{H}=\mathbf{U\Sigma }{\mathbf{V}}^H,$$
其中$\mathbf{\Sigma }$是对角矩阵，包含奇异值${\sigma }_i$，代表各子信道的增益。

（2）等效标子信道模型

通过预编码和合并，MIMO信道可以解耦为多个并行子信道，每个子信道的容量为：
$$C_i={\log }_2\left(1+\frac{\text{SNR}}{n_T}{\sigma }_i^2\right)$$

（3）总容量的合并

总容量是所有子信道容量之和：
$$C_{\text{总}}=\sum _{i=1}^{n_T}{C}_i={\log }_2\prod _{i=1}^{n_T}\left(1+\frac{\text{SNR}}{n_T}{\sigma }_i^2\right)$$
而特征值的乘积对应于行列式：
$$\prod _{i=1}^{n_T}\left(1+\frac{\text{SNR}}{n_T}{\lambda }_i\right)=\det \left(\mathbf{I}+\frac{\text{SNR}}{n_T}{\mathbf{H}}^H\mathbf{H}\right),$$
因此总容量可简洁地表示为：
$$C_{\text{OL}}={\log }_2\det \left(\mathbf{I}+\frac{\text{SNR}}{n_T}{\mathbf{H}}^H\mathbf{H}\right).$$

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4. 物理意义

• 并行传输：MIMO系统通过空间维度创建多个独立的子信道，行列式$\det$的作用是统计这些子信道的总容量。
• 对数的性质：$\log (\det (\cdot ))$本质上是$\sum \log (\cdot )$，这继承了香农公式中对数叠加的思想。
• 均匀功率分配：开环条件下功率均分到所有天线上，因此每个子信道的功率为$\frac{\text{SNR}}{n_T}$。

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5. 对比闭环容量

在闭环容量（如注水算法）中，功率不再均匀分配。优化后的容量表达式为：
$$C_{\text{CL}}=\sum _{i=1}^r{\log }_2\left(1+p_i\frac{{\sigma }_i^2}{n_T}\right),$$
其中$p_i$是注水算法优化的功率分配值。此时$\det$不再直接出现，而是显式地写出每个子信道的影响。

闭环容量公式中没有使用$\det$的原因是：功率分配改变了每个子信道的增益权重，无法直接用统一的行列式表达式覆盖动态调整的功率¹。但若将功率分配矩阵显式写出，仍然可以通过行列式表达：
$$C_{\text{CL}}={\log }_2\det \left(\mathbf{I}+\frac{1}{n_T}\mathbf{\Gamma }{\mathbf{\Sigma }}^2\right),$$
其中$\mathbf{\Gamma }=\text{diag}(p_1,p_2,\dots ,p_{n_T})$。

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总结

• 行列式的作用：在开环容量中，行列式$\det$是将多个独立子信道的容量合并成一个紧凑表达式的数学工具，体现了多天线系统的空间复用本质。
• 对比单天线系统：在单天线系统中，总容量直接相加；在多天线系统中，行列式自然地将独立子信道的乘积转换为对数和（通过$\log \prod =\sum \log$）。

通过这个视角可以看出，行列式的出现是信息论在多天线系统中的数学抽象，是容量计算在矩阵领域的推广。

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¹ 闭环容量也可用行列式表达，但需显式包含功率分配矩阵。在代码实现中，这通过 np.diag(Gamma) 体现。

开环和闭环信道容量的数学表达式推导过程：

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1. MIMO系统模型

假设一个$n_T\times n_R$的 MIMO 系统，信道矩阵为$\mathbf{H}$，其建模为：
$$\mathbf{H}={\mathbf{R}}_{\text{rx}}^{1/2}{\mathbf{H}}_w{\mathbf{R}}_{\text{tx}}^{1/2}$$
其中：
-${\mathbf{H}}_w$是独立同分布（i.i.d.）的复高斯信道矩阵，元素服从$\mathcal{C}\mathcal{N}(0,1)$。
-${\mathbf{R}}_{\text{tx}}$和${\mathbf{R}}_{\text{rx}}$是发射端和接收端的相关矩阵（代码中为指数衰减相关模型）。

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2. 开环信道容量（Channel Unknown）

假设条件：

• 发射端 不知道 信道状态信息（CSI），功率均匀分配到所有天线上。

数学推导：

1. 等效信道协方差矩阵：
   $${\mathbf{H}}^H\mathbf{H}=\mathbf{U\Lambda }{\mathbf{U}}^H$$
   其中$\mathbf{\Lambda }=\text{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_{n_T})$，${\lambda }_i$是奇异值的平方。

2. 容量公式：
   开环容量由以下公式给出：
   $$C_{\text{OL}}=\mathbb{E}\left[{\log }_2\det \left(\mathbf{I}+\frac{\text{SNR}}{n_T}{\mathbf{H}}^H\mathbf{H}\right)\right]$$

   • 由于功率均匀分配，每个天线的功率为$\frac{\text{SNR}}{n_T}$。
   • 公式中的期望$\mathbb{E}[\cdot ]$是对信道矩阵$\mathbf{H}$的统计平均（代码中通过蒙特卡洛仿真实现）。

3. 代码对应：

   tmp = H.conj().T @ H / nT
   C_44_OL[i] += np.log2(np.linalg.det(I + SNR_linear[i] * tmp))
   

   • tmp 对应$\frac{1}{n_T}{\mathbf{H}}^H\mathbf{H}$，因此容量公式中为$\mathbf{I}+\text{SNR}\cdot \frac{{\mathbf{H}}^H\mathbf{H}}{n_T}$。

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3. 闭环信道容量（Channel Known）

假设条件：

• 发射端 知道 信道状态信息（CSI），通过注水算法优化功率分配。

数学推导：

1. 奇异值分解（SVD）：
   对信道矩阵进行 SVD 分解：
   $$\mathbf{H}=\mathbf{U\Sigma }{\mathbf{V}}^H$$
   -$\mathbf{\Sigma }=\text{diag}({\sigma }_1,{\sigma }_2,\dots ,{\sigma }_{n_T})$，其中${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$是奇异值。

2. 注水算法优化功率分配：

   • 优化目标：最大化信道容量：
     C CL = max ⁡ { p i } ∑ i = 1 n T log ⁡ 2 ( 1 + p i σ i 2 n T ) C_{\text{CL}} = \max_{\{p_i\}} \sum_{i=1}^{n_T} \log_2 \left( 1 + \frac{p_i \sigma_i^2}{n_T} \right) CCL​={ pi​}max​i=1∑nT​​log2​(1+nT​pi​σi2​​)
     约束条件为：
     $$\sum _{i=1}^{n_T}{p}_i=\text{SNR},p_i\ge 0$$
   • 注水算法解：
     $$p_i={\left(\mu -\frac{n_T}{{\sigma }_i^2}\right)}^{+}$$
     其中$\mu$是注水水平，满足$\sum p_i=\text{SNR}$。

3. 闭环容量公式：
   优化后的容量为：
   $$C_{\text{CL}}=\mathbb{E}\left[\sum _{i=1}^{n_T}{\log }_2\left(1+\frac{p_i{\sigma }_i^2}{n_T}\right)\right]$$
   或等价地：
   $$C_{\text{CL}}=\mathbb{E}\left[{\log }_2\det \left(\mathbf{I}+\frac{\text{SNR}}{n_T}\mathbf{\Gamma }{\mathbf{\Sigma }}^2\right)\right]$$
   其中$\mathbf{\Gamma }=\text{diag}(p_1,p_2,\dots ,p_{n_T})$。

4. 代码对应：

   Gamma = water_pouring(SV, SNR_linear[i], nT)
   C_44_CL[i] += np.log2(np.linalg.det(I + SNR_linear[i]/nT * np.diag(Gamma) @ np.diag(SV)))
   

   • SV 是奇异值${\sigma }_i$的数组，对应$\mathbf{\Sigma }$。
   • Gamma 是注水算法计算出的功率分配系数$p_i$，对应$\mathbf{\Gamma }$。

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4. 注水算法的数学核心

1. 问题形式化：
   max ⁡ { p i } ∑ i = 1 r log ⁡ 2 ( 1 + p i λ i n T ) , s.t. ∑ i = 1 r p i = SNR , p i ≥ 0 \max_{\{p_i\}} \sum_{i=1}^{r} \log_2 \left( 1 + \frac{p_i \lambda_i}{n_T} \right), \quad \text{s.t.} \quad \sum_{i=1}^{r} p_i = \text{SNR}, \quad p_i \ge 0 { pi​}max​i=1∑r​log2​(1+nT​pi​λi​​),s.t.i=1∑r​pi​=SNR,pi​≥0
   其中${\lambda }_i={\sigma }_i^2$，$r$是有效子信道数（取决于信道秩）。

2. 拉格朗日乘数法：
   构造拉格朗日函数：
   $$\mathcal{L}=\sum _{i=1}^r{\log }_2\left(1+\frac{p_i{\lambda }_i}{n_T}\right)-\mu \left(\sum _{i=1}^r{p}_i-\text{SNR}\right)$$
   对$p_i$求导并令导数为零，得到：
   $$\frac{{\lambda }_i/n_T}{1+\frac{p_i{\lambda }_i}{n_T}}=\mu \Rightarrow p_i={\left(\frac{1}{\mu }-\frac{n_T}{{\lambda }_i}\right)}^{+}$$
   其中$\mu$是注水阈值，需满足总功率约束。

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5. 关键区别总结

场景	功率分配	容量公式
开环	均匀分配$p_i=\text{SNR}/n_T$	$C_{\text{OL}}=\mathbb{E}\left[{\log }_2\det \left(\mathbf{I}+\frac{\text{SNR}}{n_T}{\mathbf{H}}^H\mathbf{H}\right)\right]$
闭环	注水算法优化$p_i$	$C_{\text{CL}}=\mathbb{E}\left[{\sum }_{i=1}^r{\log }_2\left(1+\frac{p_i{\lambda }_i}{n_T}\right)\right]$

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6. 物理意义

1. 开环：

   • 功率均匀分配，适用于信道快速变化或反馈受限的场景。
   • 容量由信道矩阵的奇异值分布决定，无法主动优化。

2. 闭环：

   • 通过注水算法将更多功率分配给质量更好的子信道（奇异值大的方向）。
   • 在高SNR时，容量增益显著，体现了信道状态信息的重要性。

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# time: 2025/2/20 19:54
# author: YanJP
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.linalg import sqrtm  # 用于计算矩阵的平方根

# 注水算法函数
def water_pouring(Lamda, SNR, nT):
    Gamma = np.zeros_like(Lamda)
    r = len(Lamda)
    index = np.arange(r)
    index_temp = index.copy()
    p = 1

    while p < r:
        irp = np.arange(r - p + 1)
        temp = np.sum(1 / Lamda[index_temp[irp]])
        mu = nT / (r - p + 1) * (1 + 1 / SNR * temp)
        Gamma[index_temp[irp]] = mu - nT / (SNR * Lamda[index_temp[irp]])

        if np.min(Gamma[index_temp]) < 0:
            i = np.argmin(Gamma)
            ii = np.where(index_temp == i)[0][0]
            index_temp = np.concatenate((index_temp[:ii], index_temp[ii + 1:]))
            p += 1
            Gamma = np.zeros_like(Lamda)
        else:
            p = r

    Gamma_t = np.zeros_like(Lamda)
    Gamma_t[index_temp] = Gamma[index_temp]
    return Gamma_t

# 程序功能说明
# 观察MIMO在开环和闭环下的信道容量，注水算法的理论

SNR_dB = np.arange(0, 21, 5)
SNR_linear = 10 ** (SNR_dB / 10)
N_iter = 1000

# 4x4 MIMO配置
nT = 4
nR = 4
n = min(nT, nR)
I = np.eye(n)
rho = 0.2
sq2 = np.sqrt(0.5)

# 发射端和接收端相关矩阵
Rtx = np.array([
    [1, rho, rho**2, rho**3],
    [rho, 1, rho, rho**2],
    [rho**2, rho, 1, rho],
    [rho**3, rho**2, rho, 1]
])

Rrx = np.array([
    [1, rho, rho**2, rho**3],
    [rho, 1, rho, rho**2],
    [rho**2, rho, 1, rho],
    [rho**3, rho**2, rho, 1]
])

C_44_OL = np.zeros(len(SNR_dB))
C_44_CL = np.zeros(len(SNR_dB))

for iter in range(N_iter):
    Hw = sq2 * (np.random.randn(nR, nT) + 1j * np.random.randn(nR, nT))
    # 使用 scipy.linalg.sqrtm 计算矩阵的平方根
    H = sqrtm(Rrx) @ Hw @ sqrtm(Rtx)
    tmp = H.conj().T @ H / nT
    SV = np.linalg.svd(H.conj().T @ H, compute_uv=False)

    for i in range(len(SNR_dB)):
        # 开环容量
        C_44_OL[i] += np.log2(np.linalg.det(I + SNR_linear[i] * tmp))
        # 闭环容量（使用注水算法）
        Gamma = water_pouring(SV, SNR_linear[i], nT)
        C_44_CL[i] += np.log2(np.linalg.det(I + SNR_linear[i] / nT * np.diag(Gamma) @ np.diag(SV)))

C_44_OL = np.real(C_44_OL) / N_iter
C_44_CL = np.real(C_44_CL) / N_iter

# 绘制结果
plt.figure()
plt.plot(SNR_dB, C_44_OL, '-o', label='Channel Unknown')
plt.plot(SNR_dB, C_44_CL, '-<', label='Channel Known')
plt.xlabel('SNR [dB]')
plt.ylabel('bps/Hz')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()