【KAN】KAN神经网络学习训练营(22)——Example 1：函数拟合

企业开发 2025-04-08 12:30:08 阅读次数: 0

一、引言

KAN神经网络（Kolmogorov–Arnold Networks）是一种基于Kolmogorov-Arnold表示定理的新型神经网络架构。该定理指出，任何多元连续函数都可以表示为有限个单变量函数的组合。与传统多层感知机（MLP）不同，KAN通过可学习的激活函数和结构化网络设计，在函数逼近效率和可解释性上展现出潜力。

二、技术与原理简介

1.Kolmogorov-Arnold 表示定理

Kolmogorov-Arnold 表示定理指出，如果是有界域上的多元连续函数，那么它可以写为单个变量的连续函数的有限组合，以及加法的二进制运算。更具体地说，对于光滑 $ff:[0,1]^{^{n}}\rightarrow \mathbb{R}$

$f \left( x \right)=f \left( x_{1}, \cdots,x_{n} \right)= \sum_{q=1}^{2n+1} \Phi_{q} \left( \sum_{p=1}^{n} \phi_{q,p} \left( x_{p} \right) \right)$

其中和。从某种意义上说，他们表明唯一真正的多元函数是加法，因为所有其他函数都可以使用单变量函数和 sum 来编写。然而，这个 2 层宽度 - Kolmogorov-Arnold 表示可能不是平滑的由于其表达能力有限。我们通过以下方式增强它的表达能力将其推广到任意深度和宽度。 $\boldsymbol{\phi_{q,p}:[0,1]\to\mathbb{R}}$ ， $\boldsymbol{\Phi_{q}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}(2n+1)}$

2.Kolmogorov-Arnold 网络（KAN）

Kolmogorov-Arnold 表示可以写成矩阵形式

$f(x)=\mathbf{\Phi_{out}}\mathsf{o}\mathbf{\Phi_{in}}\mathsf{o}{}x$

其中

$\mathbf{\Phi}_{\mathrm{in}}=\begin{pmatrix}\phi_{1,1}(\cdot)&\cdots&\phi_{1,n }(\cdot)\\ \vdots&&\vdots\\ \phi_{2n+1,1}(\cdot)&\cdots&\phi_{2n+1,n}(\cdot)\end{pmatrix}$

$\quad\mathbf{ \Phi}_{\mathrm{out}}=\left(\Phi_{1}(\cdot)\quad\cdots\quad\Phi_{2n+1}(\cdot)\right)$

我们注意到和都是以下函数矩阵（包含输入和输出）的特例，我们称之为 Kolmogorov-Arnold 层： $\mathbf{\Phi_{in}} \mathbf{\Phi_{out}} \mathbf{\Phi_{n_{in}n_{out}}}$

其中 $\boldsymbol{n_{\text{in}}=n,n_{\text{out}}=2n+1\Phi_{\text{out}}n_{\text{in}}=2n+1,n_{\text{out}}=1}$ 。

定义层后，我们可以构造一个 Kolmogorov-Arnold 网络只需堆叠层！假设我们有层，层的形状为。那么整个网络是 $Ll^{th} \Phi_{l} \left( n_{l+1},n_{l} \right)$

$\mathbf{KAN(x)}=\mathbf{\Phi_{L-1}}\circ\cdots\circ\mathbf{\Phi_{1}}\circ \mathbf{\Phi_{0}}\circ\mathbf{x}$

相反，多层感知器由线性层和非线错： $\mathbf{W}_{l^{\sigma}}$

$\text{MLP}(\mathbf{x})=\mathbf{W}_{\textit{L-1}}\circ\sigma\circ\cdots\circ \mathbf{W}_{1}\circ\sigma\circ\mathbf{W}_{0}\circ\mathbf{x}$

KAN 可以很容易地可视化。（1） KAN 只是 KAN 层的堆栈。（2）每个 KAN 层都可以可视化为一个全连接层，每个边缘上都有一个1D 函数。

三、代码详解

在此示例中，我们将介绍如何利用网格细化来最大化KANs在函数拟合方面的能力

1. 初始化模型并创建数据集

from kan import *

# initialize KAN with G=3
model = KAN(width=[2,1,1], grid=3, k=3)

# create dataset
f = lambda x: torch.exp(torch.sin(torch.pi*x[:,[0]]) + x[:,[1]]**2)
dataset = create_dataset(f, n_var=2)

2. 训练 KAN（网格=3）

model.train(dataset, opt="LBFGS", steps=20);

3. 精分 KAN！

# initialize a more fine-grained KAN with G=10
model2 = KAN(width=[2,1,1], grid=10, k=3)
# initialize model2 from model
model2.initialize_from_another_model(model, dataset['train_input']);

4. 训练 KAN（网格=10）

model2.train(dataset, opt="LBFGS", steps=20);

5. 逐步细化网格

grids = np.array([5,10,20,50,100])

train_losses = []
test_losses = []
steps = 50
k = 3

for i in range(grids.shape[0]):
    if i == 0:
        model = KAN(width=[2,1,1], grid=grids[i], k=k)
    if i != 0:
        model = KAN(width=[2,1,1], grid=grids[i], k=k).initialize_from_another_model(model, dataset['train_input'])
    results = model.train(dataset, opt="LBFGS", steps=steps, stop_grid_update_step=30)
    train_losses += results['train_loss']
    test_losses += results['test_loss']

6. 损失的训练动力学显示阶梯结构（网格细化后损失突然下降）

plt.plot(train_losses)
plt.plot(test_losses)
plt.legend(['train', 'test'])
plt.ylabel('RMSE')
plt.xlabel('step')
plt.yscale('log')

7. 神经缩放定律

n_params = 3 * grids
train_vs_G = train_losses[(steps-1)::steps]
test_vs_G = test_losses[(steps-1)::steps]
plt.plot(n_params, train_vs_G, marker="o")
plt.plot(n_params, test_vs_G, marker="o")
plt.plot(n_params, 100*n_params**(-4.), ls="--", color="black")
plt.xscale('log')
plt.yscale('log')
plt.legend(['train', 'test', r'$N^{-4}$'])
plt.xlabel('number of params')
plt.ylabel('RMSE')

四、总结与思考

KAN神经网络通过融合数学定理与深度学习，为科学计算和可解释AI提供了新思路。尽管在高维应用中仍需突破，但其在低维复杂函数建模上的潜力值得关注。未来可能通过改进计算效率、扩展理论边界，成为MLP的重要补充。

1. KAN网络架构

关键设计：可学习的激活函数：每个网络连接的“权重”被替换为单变量函数（如样条、多项式），而非固定激活函数（如ReLU）。分层结构：输入层和隐藏层之间、隐藏层与输出层之间均通过单变量函数连接，形成多层叠加。参数效率：由于理论保证，KAN可能用更少的参数达到与MLP相当或更好的逼近效果。
示例结构：输入层 → 隐藏层：每个输入节点通过单变量函数 $\phi_{q,i} \left( x_{i} \right)$ 连接到隐藏节点。隐藏层 → 输出层：隐藏节点通过另一组单变量函数 $\psi_{q}$ 组合得到输出。