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动态规划 —— 简单多状态 dp 问题_状态dp-CSDN博客
本篇文章是对上一篇文章的延续，感兴趣的话，可以先去看上面的文章。
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309.买卖股票的最佳时机含冷冻期
题目：
给定一个整数数组
prices，其中第prices[i]表示第i天的股票价格 。设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
- 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入: prices = [1,2,3,0,2] 输出: 3 解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]示例 2:
输入: prices = [1] 输出: 0提示：
1 <= prices.length <= 50000 <= prices[i] <= 1000
思路：
注意：对于多状态且相互之间可以转换的，推导公式的得出最好是画图，通过画图来观察他们之间的关系，从而得出推导公式。
代码实现：
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int n = prices.length;
int[][] dp = new int[n][3];
dp[0][0] = -prices[0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]-prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][2]);
dp[i][2] = dp[i-1][0] + prices[i];
}
// 最后一天如果还处于买入状态的话，利润肯定是要少于等于卖出股票的状态的
// 因为股票的价格是 >= 0的
return Math.max(dp[n-1][1], dp[n-1][2]);
}
}714.买卖股票的最佳时机含手续费
题目：
给定一个整数数组
prices，其中prices[i]表示第i天的股票价格 ；整数fee代表了交易股票的手续费用。你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。
返回获得利润的最大值。
注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。
示例 1：
输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2 输出：8 解释：能够达到的最大利润: 在此处买入 prices[0] = 1 在此处卖出 prices[3] = 8 在此处买入 prices[4] = 4 在此处卖出 prices[5] = 9 总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8示例 2：
输入：prices = [1,3,7,5,10,3], fee = 3 输出：6提示：
1 <= prices.length <= 5 * 10^41 <= prices[i] < 5 * 10^40 <= fee < 5 * 10^4
思路：
代码实现：
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
// 创建dp表、初始化、填表、返回值
int n = prices.length;
int[][] dp = new int[n][2];
dp[0][0] = -prices[0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]-prices[i]);
// 这里一定要减去手续费
dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]+prices[i]-fee);
}
// 处于买入状态肯定不是最大利润，因此只需要返回卖出状态的最大利润即可
return dp[n-1][1];
}
}123.买卖股票的最佳时机 III
题目：
给定一个数组，它的第
i个元素是一支给定的股票在第i天的价格。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4] 输出：6 解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。 随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。示例 2：
输入：prices = [1,2,3,4,5] 输出：4 解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。 注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。 因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。示例 3：
输入：prices = [7,6,4,3,1] 输出：0 解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。示例 4：
输入：prices = [1] 输出：0提示：
1 <= prices.length <= 10^50 <= prices[i] <= 10^5
思路：
代码实现：
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int n = prices.length;
int[][] f = new int[n][3];
int[][] g = new int[n][3];
f[0][0] = -prices[0];
// 这里不能初始化为 Integer.MIN_VALUE
f[0][1] = -0x3f3f3f;
f[0][2] = -0x3f3f3f;
g[0][1] = -0x3f3f3f;
g[0][2] = -0x3f3f3f;
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < 3; j++) {
f[i][j] = Math.max(f[i-1][j], g[i-1][j]-prices[i]);
g[i][j] = g[i-1][j];
// 只有当 合法 时，才去判断
if (j-1 >= 0) {
g[i][j] = Math.max(f[i-1][j-1]+prices[i], g[i][j]);
}
}
}
// 返回"卖出"状态的最大值
return Math.max(Math.max(g[n-1][0], g[n-1][1]), g[n-1][2]);
}
}188.买卖股票的最佳时机IV
题目：
给你一个整数数组
prices和一个整数k，其中prices[i]是某支给定的股票在第i天的价格。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成
k笔交易。也就是说，你最多可以买k次，卖k次。注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1：
输入：k = 2, prices = [2,4,1] 输出：2 解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。示例 2：
输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3] 输出：7 解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。 随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。提示：
1 <= k <= 1001 <= prices.length <= 10000 <= prices[i] <= 1000
思路：本题算是上一题的扩展，只是将交易次数发生了变化，前面是2次，这里是k次。
代码实现：
class Solution {
public int maxProfit(int k, int[] prices) {
int n = prices.length;
int[][] f = new int[n][k+1]; // 注意，初始化为 k+1
int[][] g = new int[n][k+1];
// 初始化为 最小值 的一半
for (int i = 1; i <= k; i++) {
f[0][i] = -0x3f3f3f;
g[0][i] = -0x3f3f3f;
}
// 对 [0,0] 位置特殊处理
f[0][0] = -prices[0];
g[0][0] = 0;
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 0; j <= k; j++) {
f[i][j] = Math.max(f[i-1][j], g[i-1][j]-prices[i]);
g[i][j] = g[i-1][j];
// 只有处于有效时，才去处理
if (j-1 >= 0) {
g[i][j] = Math.max(g[i][j], f[i-1][j-1]+prices[i]);
}
}
}
// 遍历 "卖出" 状态的最后一行，求出最大值
int ret = 0;
for (int i = 0; i <= k; i++) {
ret = Math.max(ret, g[n-1][i]);
}
return ret;
}
}在正式申请dp数组时，可以先预处理一下：k = Math.min(k, n/2)。例如，当 n = 20、k = 30 时，最多的交易次数是10（同一天买卖不考虑，因为不能增加利润，不是明智之举），而最多的交易次数规定的是30，但根本达不到，由于数组的规模和for循环的次数是和 k 息息相关的，因此当减小 k 时，可以节省空间和时间。所以只需要在申请 f 和 g 的大小时，处理 k 即可：
k = Math.min(n/2, k);好啦！本期 动态规划 —— 简单多状态 dp 问题(买卖股票问题) 的刷题之旅 就到此结束啦！我们下一期再一起学习吧！