此前篇章：
一、ARMA模型的定义
ARMA(p, q)模型是一种线性时间序列模型，它结合了自回归模型（AR模型）和移动平均模型（MA模型）的特性，能够同时利用历史观测值和历史噪声项来建模序列的动态特性。ARMA模型适用于具有复杂依赖结构的时间序列数据，能够更灵活地捕捉数据的自相关性和移动平均性，也是最常用的模型之一。
ARMA(p, q)模型的一般形式：
参数含义：
-
μ：序列的均值（通常假设为0，即序列已中心化）。
-
φ：自回归系数，反映历史观测值对当前值的影响。
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θ：移动平均系数，反映历史噪声项对当前值的影响。
-
ϵ：独立同分布的白噪声。
-
p：自回归部分的阶数，表示依赖的历史观测值步长。
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q：移动平均部分的阶数，表示依赖的历史噪声项步长。
ARMA(p, q)模型的延迟算子形式：
利用延迟算子 LL（定义： 和
），ARMA模型可简化为：
其中：
-
为自回归多项式。
-
为移动平均多项式。
二、平稳性与可逆性条件
平稳性条件：ARMA模型的平稳性由自回归多项式 Φ(z) 的根决定，所有根 z 满足 ∣z∣>1（位于复平面单位圆外），若根在单位圆内，则序列非平稳，需通过差分转换为平稳序列。
可逆性条件：ARMA模型的可逆性由移动平均多项式 Θ(z) 的根决定，所有根 z 满足 ∣z∣>1（位于复平面单位圆外）所有根 z 满足 ∣z∣>1（位于复平面单位圆外），若根在单位圆内，模型不可逆，无法唯一确定噪声项的权重。
注：ARMA模型需同时满足平稳性和可逆性条件，才能保证其统计性质和预测能力。
三、ARMA模型的统计特性
(1) 均值：常数均值。若序列中心化，则均值为0，否则均值可以通过以下计算式得到：
对模型等式两端同时取取均值，可以得到，
(2) 方差：需分母不为零且平稳性条件成立。
(3) 自相关函数（ACF）与偏自相关函数（PACF）
-
ACF：拖尾衰减（受AR和MA项共同影响），无明确截尾点。
-
PACF：拖尾衰减（受AR和MA项共同影响），无明确截尾点。
-
特点：ARMA模型的ACF和PACF均表现为拖尾，需结合模型阶数(p, q)进行识别。
四、ARMA模型、AR模型、MA模型的对比
| 特性 | AR(p)模型 | MA(q)模型 | ARMA(p, q)模型 |
|---|---|---|---|
| 模型依赖项 | 历史观测值 | 历史噪声项 | 历史观测值和历史噪声项 |
| ACF | 拖尾（逐渐衰减至零） | 截尾（在滞后q阶后突变为零） | 拖尾（逐渐衰减至零） |
| PACF | 截尾（在滞后p阶后突变为零） | 拖尾（逐渐衰减至零） | 拖尾（逐渐衰减至零） |
| 平稳性条件 | 特征根在单位圆内 | 无平稳性条件（MA模型天然平稳） | 自回归多项式的根在单位圆内 |
| 可逆性条件 | 无 | 移动平均多项式的根在单位圆外 | 自回归多项式和移动平均多项式的根在单位圆外 |
建模和参数估计等内容在后续文章再统一讲解，简单了解一下模型特性先叭。
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