时间序列分析（五）——移动平均模型（MA模型）

企业开发 2025-04-11 23:24:56 阅读次数: 0

此前篇章：

时间序列分析（一）——基础概念篇

时间序列分析（二）——平稳性检验

时间序列分析（三）——白噪声检验

时间序列分析（四）——差分运算、延迟算子、AR(p)模型

一、MA模型的的定义

MA(q)模型是一种线性时间序列模型，其当前观测值 Xt 表示为过去 q 个白噪声误差项的线性组合。与AR模型不同，MA模型通过历史噪声项而非历史观测值来建模序列的动态特性。

二、MA(q)模型的一般形式

MA(q)模型的数学表达式为：

参数含义：

μ：序列的均值（通常假设为0，即序列已中心化）。
θ：移动平均系数，反映过去噪声对当前值的影响。
ϵ：独立同分布的白噪声，满足 ϵt∼WN(0,σ2)。
q：模型阶数，表示依赖的历史噪声项步长。

三、延迟算子表示

利用延迟算子 L（定义： $L^{k}\epsilon _{t}=\epsilon _{t-k}$ ），MA(q)模型可简化为：

或写作多项式形式：

其中 Θ(L)=1+θ1L+θ2L2+⋯+θqLq 称为移动平均多项式。

四、MA模型的可逆性条件

可逆性的定义：MA模型的可逆性指模型能否转化为AR(∞)模型，即当前噪声项 ϵt 能否用历史观测值的无限加权和表示。可逆性确保模型参数估计的唯一性和一致性。

为什么MA模型需要满足可逆性：

唯一性（避免多解性）：可逆性确保同一自相关函数对应唯一的MA模型。这在模型识别和参数估计中至关重要，因为可以确信拟合的是正确的模型。
参数估计：可逆性使得最大似然估计等参数估计方法更加稳定和有效。如果模型不可逆，似然函数可能不会收敛，导致估计过程不稳定或无效。
保障预测的稳定性和模型识别的准确性

如果不满足可逆性，那么一个自相关系数未必对应一个平稳时间序列模型，这种“自相关系数对应模型的不唯一性”会对后面的工作带来麻烦，就会导致拟合模型和随机序列之间不是一一对应关系。

因此，为了保证一个给定的自相关系数能够对应唯一的MA模型，我们就要给模型增加约束条件，称为可逆性条件。

可逆性条件：
MA(q)模型可逆的充要条件是移动平均多项式 Θ(z) 的所有根 z 满足 ∣z∣>1（位于复平面单位圆外）。若根在单位圆内，则模型不可逆，无法唯一确定历史噪声项的权重。

示例：
对于MA(1)模型 $X_{t}=\epsilon _{t}+\theta _{1}\epsilon_{t-1}$ ，特征方程为 1+θ1z=0，解得根 z=−1/θ1。
可逆性条件为 ∣z∣>1 ⇒ 即∣θ1∣<1。

五、MA模型的平稳性

由于MA模型是基于白噪声构建的，而白噪声本身是平稳的（零均值、常数方差且互不相关），因此MA模型理论上是平稳的。尽管理论上MA模型是平稳的，但在实际应用中，数据可能不完美，存在模型误设的情况。例如，如果误差项假设不正确，或者数据包含趋势或季节性成分，那么实际的时间序列可能不是平稳的，即使理论上的MA模型是平稳的。

由于MA模型天然是平稳的，所以MA模型的平稳性不需要额外检验，但是需要保证一定是白噪声。

六、MA模型的统计特性

(1) 均值与方差

均值：均值为常数。若 μ=0，则均值为 E[Xt]=0；否则均值为 μ。
方差：方差为常数，与时间无关。

(2) 自相关函数（ACF）：MA(q)模型的ACF在滞后 k>qk>q 时截尾。ACF截尾表明历史噪声项的影响仅持续有限步长，是识别MA模型阶数的关键特征。

(3) 偏自相关函数（PACF）：MA(q)模型的PACF呈拖尾性，表现为缓慢衰减（如指数或震荡衰减）。与AR模型的ACF类似。

七、MA模型与AR模型的对比

特性	AR(p)模型	MA(q)模型
模型依赖项	历史观测值 $X_{t-k}$	历史噪声项 $\varepsilon _{t-k}$
ACF	拖尾（逐渐衰减至零）	截尾（在滞后q阶后突变为零）
PACF	截尾（在滞后p阶后突变为零）	拖尾（逐渐衰减至零）
平稳性条件	特征根在单位圆内	无平稳性条件（MA模型天然平稳）
可逆性条件	无	移动平均多项式的根在单位圆外