带权并查集整理

在并查集的基础上，对其中的每一个元素赋有某些值。在对并查集进行路径压缩和合并操作时，这些权值具有一定属性，即可将他们与父节点的关系，变化为与所在树的根结点关系。这就是带权并查集。

两道例题：

一、关押罪犯（传送门）

题目描述

$S$ 城现有两座监狱，一共关押着 $N$ 名罪犯，编号分别为 $1 - N$ 。他们之间的关系自然也极不和谐。很多罪犯之间甚至积怨已久，如果客观条件具备则随时可能爆发冲突。我们用“怨气值”（一个正整数值）来表示某两名罪犯之间的仇恨程度，怨气值越大，则这两名罪犯之间的积怨越多。如果两名怨气值为 $c$ 的罪犯被关押在同一监狱，他们俩之间会发生摩擦，并造成影响力为 $c$ 的冲突事件。

每年年末，警察局会将本年内监狱中的所有冲突事件按影响力从大到小排成一个列表，然后上报到S 城Z 市长那里。公务繁忙的Z 市长只会去看列表中的第一个事件的影响力，如果影响很坏，他就会考虑撤换警察局长。

在详细考察了 $N$ 名罪犯间的矛盾关系后，警察局长觉得压力巨大。他准备将罪犯们在两座监狱内重新分配，以求产生的冲突事件影响力都较小，从而保住自己的乌纱帽。假设只要处于同一监狱内的某两个罪犯间有仇恨，那么他们一定会在每年的某个时候发生摩擦。

那么，应如何分配罪犯，才能使Z 市长看到的那个冲突事件的影响力最小？这个最小值是多少？

输入格式：

每行中两个数之间用一个空格隔开。第一行为两个正整数 $N, M$ ，分别表示罪犯的数目以及存在仇恨的罪犯对数。接下来的 $M$ 行每行为三个正整数 $a_j,b_j,c_j$ ，表示 $a_j$ 号和 $b_j$ 号罪犯之间存在仇恨，其怨气值为 $c_j$ 。数据保证 $1 < a j \leq b j \leq N, 0 < c j \leq 1, 000, 000, 000$ ，且每对罪犯组合只出现一次。

输出格式：

共 $1$ 行，为 $Z$ 市长看到的那个冲突事件的影响力。如果本年内监狱中未发生任何冲突事件，请输出 0

思路：带权并查集，每个节点权值v[i]表示i和i的父节点之间的关系，0是在同一监狱，1是在不同监狱，在压缩路径时，

v[i] = ( v[i] + v[fai] ) % 2，fai是指i没有更新前的父节点。

举个例子：x的父节点y， y的父节点z，如果x和y在同一监狱，y和z不在同一监狱，则合并x->y和y->z时，v[x] = ( v[x] + v[y] )%2

=( 1 + 0 ) % 2 = 1 ，即x和z在不同监狱。

带权并查集搞完了，就可以判断两个罪犯在不在同一监狱内，也可以合并任意两个罪犯

然后贪心：因为要求的是最小的冲突最大的值，所以要尽量避免大的冲突值。按冲突值降序排序，再一个一个处理，直到有两个罪犯不得不被放在同一个监狱里为止

帖代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 2e4+10;
const int M = 1e5+10;
int n, m;
struct NODE{
    int x, y, val;
}a[M];
int fa[N], v[N];

bool cmp(NODE x, NODE y)
{
    return x.val > y.val;
}

int FIND(int u)
{
    if (fa[u] == u) return u;
    int tmp = fa[u];
    fa[u] = FIND(fa[u]);
    v[u] = (v[u]+v[tmp])%2;
    return fa[u];
}

void UNION(int x, int y, int val)
{
    fa[x] = y;
    v[x] = val;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        scanf("%d%d%d", &a[i].x, &a[i].y, &a[i].val);
    sort(a+1, a+m+1, cmp);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        fa[i] = i, v[i] = 0;
    for (int i= 1; i <= m; i++){
        int x = a[i].x;
        int y = a[i].y;
        int val = a[i].val;
        int fax = FIND(x);
        int fay = FIND(y);
        if (fax == fay){
            if ((v[x]+v[y])%2 == 0){
                printf("%d", val);
                return 0;
            }
        }
        else
            UNION(fax, fay, (v[x]+v[y]+1)%2);
    }
    printf("0");
    return 0;
}

二、食物链（传送门）

这题比关押罪犯更难一点，但是思路差不多。燃鹅题解全是开补集什么的蒟蒻看不懂，只能用带权并查集。

思路：权值v[i] = 0表示与根同一种类， 1 表示被父节点的东西吃， 2 表示吃父节点，于是关系就很好表示了。

路径压缩的时候一样：v[i] = ( v[i] + v[fai] ) % 3，fai是指i没有更新前的父节点

在判断同一棵树内的两点间关系时，val = ( v[x] - v[y] +3 ) % 3 ，val即x相对于y的关系（1表示x被y吃，2表示x吃y），

为什么要用减呢？因为v[y]表示y相对于father的关系，而在求路径时我们需要的是father相对于y的关系，所以由加变减

最后只要多写几个if就可以判断了

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 5e4+10;
int n, k, ans;
int fa[N], v[N];

int FIND(int u){
    if (fa[u] == u) return u;
    int tmp = fa[u];
    fa[u] = FIND(fa[u]);
    v[u] = (v[u]+v[tmp])%3;
    return fa[u];
}

void UNION(int x, int y, int val)
{
    fa[x] = y;
    v[x] = val;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        fa[i] = i, v[i] = 0;
    ans = 0;
    for (int i = 1; i <= k; i++){
        int x, y, z;
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
        if (y > n || z > n){
            ans++;
            continue;
        }
        int fay = FIND(y);
        int faz = FIND(z);
        if (x == 1){
            if (fay != faz)
                UNION(fay, faz, (v[z]-v[y]+3)%3);
            else
                if ((v[y]-v[z]+3)%3) ans++;
        }
        else{
            if (y == z) ans++;
            else if (fay != faz)
                UNION(fay, faz, (v[z]-v[y]+5)%3);
            else if ((v[y]-v[z]+3)%3 != 2) ans++;
        }
    }
    printf("%d", ans);
    return 0;
}

题目描述

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