并查集——带权路径

一、概念引入

普通的并查集仅仅记录的是集合的关系，这个关系无非是同属一个集合或者是不在一个集合。

而带权并查集，不仅记录集合的关系，还记录着集合内元素的关系或者说是元素连接线的权值。

二、实现

1、求 v 数组

带权并查集有一个新的数组叫做  

意义是：从当前节点到根节点的有向距离（这里定义A到B的有向距离为dis时，B到A的有向距离为-dis）

而对于两个点对  的距离，如果他们不在一个集合里则肯定没有距离（显然），而他们在集合里的有向距离则为  （相当于是y到根节点的距离与根节点到x点的距离之和）。

举个例子：

蓝边表示当前要加入的边，我们先讨论合并两个不同集合的情况

显然，在合并之前， 

显然，  , 

不妨使 fa[find(2)] = find(4)    =>  f(1) = 3 

那么在两个集合合并之前，3所在的集合元素的 v数组中的值不用变（因为他们的根还是3）。

而对于 1所在集合，他们的根变成了3，而因为原集合的所有元素是指向1的，事实上我们只要改变1的v数组值就行（类似于并查集中合并祖先的思想（好吧就是一样的））。

好现在开始手推  的值，其实  

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带权路径主要是    依据向量之间的关系    求解

当 把 1 连接到 3 的时候，即 pre[1] = 3

那么  v[1] =  -30 + （-20） + 10   因为 v 代表的是 这一个点到根节点的距离 

或者是 

v[1] = 30 + 20 - 10 ( 代表的是 根节点到这一点的距离   ，和上边不同的是 A-> B是dis ， B-> A 是 -dis ）

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为了更加公式化一点，我们设 y 到 x 的一条边距离为w。

fx，fy分别为x，y的根节点，令  。则有：  

 

2、如何由根节点更新同集合中的点 —— 路径压缩，同时改变 v 中的值 

红色是每个点原来的v值，蓝色是修改后的v值

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容易想到，根节点肯定是第一个修改v值的，我们记i点修改后的v值为  

记根节点为root，则首先改变的则是  

因为v数组以及v'数组的相对大小是不变的（因为这个集合中的path是不变的。说人话就是 ，且i,j都在这个集合里）

因此我们可以从根节点开始，逐层改变节点的v值，因为根节点的v值肯定是0，因此上面的式子可以写成：  因此我们可以写成这个样子：

int find(int x)
{
    if (x == pre[x])
        return x;
    int root = find(pre[x]);    // 不断找根节点
    v[x] += v[pre[root]];       // 逐层累加
    return pre[x] =root;
}