7.30 背包问题

1 01背包

问题描述：

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

基本思路：
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

顺序写：

for(int i=1;i<=n;i++)
{
    for(j=c[i];j<=v;j++)  //容量至少要大于c[i]啊，不然就只能不选i了
    {
        f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-c[i]]+w[i]);//选与不选中找大的那一个
    }
}

这样写要开二维数组，浪费空间

怎么节省空间呢?

观察上面的状态转移方程，可以发现

f[i][j](放前i个物品，容量为j时的最大价值）=max(f[i-1][j](不放第i个物品的上一个状态的价值），f[i-1][j-c[i]]+w[i](放了第i个物品的上一个状态的价值加上 i 物品的价值））

所以我们只要保证我们找到的都是上一个状态即可。

化简为一维数组->f[j] 显然f[j]=max (f[j],f[j-c[i]]+w[i]) 显然括号里的f[j]为上一个状态，那么我们还要保证f[j-c[i]]为上一个状态，如果顺序求，求到f[j]时，f[j-c[i]]已经被更新过了，就不再是上一个状态

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所以我们逆序求，保证下标小的未被更新即可

for(int i=1;i<=n;i++)
{
    for(j=v;j>=c[i];j--)
    {
        f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
    }
}

2 完全背包

问题描述：有编号分别为a,b,c,d的四件物品，它们的重量分别是2,3,4,7，它们的价值分别是1,3,5,9，每件物品数量无限个，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

完全背包问题与01背包问题的区别在于每一件物品的数量都有无限个，而01背包每件物品数量只有一个。

之前对于01背包逆序求的解释还有一种，即拿完一个就没得了，f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-c[i]]+w[i] （拿第i个，上一个状态只能拿前i-1个)

而完全背包拿完了还可以再拿，f[i][j]=max(f[[i-1][j] (不拿第i个），f[i][j-c[i]]+w[i] (拿第i个，上一个状态可能仍旧拿的是第i个）

如此对于完全背包，我们不需要保证得到的都是之前的状态，顺序求即可

for(int i=1;i<=n;i++)
{
    for(j=c[i];j<=v;j++)
    {
        f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);
    }
}

3 多重背包

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