二重积分:
二重积分的现实(物理)含义:面积 × 物理量 = 二重积分值;
举例说明:二重积分的现实(物理)含义:
- 二重积分计算平面面积,即:面积 × 1 = 平面面积
- 二重积分计算立体体积,即:底面积 × 高 = 立体体积
- 二重积分计算平面薄皮质量,即:面积 × 面密度 = 平面薄皮质量
二重积分的定义式:
∬Df(x,y)dσ
其中
x
与
y
叫做积分变量,
f(x,y)
叫做被积函数,
dσ
叫做面积元素,
D
叫做积分区域
二重积分的表达形式:
1、直角坐标形式:
∬Df(x,y)dxdy
其中
dxdy叫做直角坐标系中的面积元素
2、极坐标系形式:
∬Df(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ
其中
ρdρdθ
叫做极坐标系中的面积元素
二重积分的计算法:将二重积分转化为二次积分计算
1、在直角坐标系下,
f(x,y)中x的取值区间为[x0,x1],则可推到出y的取值区间为[g(x0),g(x1)]
,则有
∬Df(x,y)dxdy=∫x1x0dx∫g(x1)g(x0)f(x,y)dy
反之,若
f(x,y)
中y的取值区间为[y_0,y_1],则可推到出x的取值区间为
[g(y0),g(y1)]
,则有
∬Df(x,y)dxdy=∫y1y0dy∫g(y1)g(y0)f(x,y)dx
2、在极坐标系下,
f(ρcosθ,ρsinθ)
中
θ
的取值范围为
[θ0,θ1]
,
ρ
的取值范围为
[ρ0,ρ1]
,则有
∬Df(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ=∫θ1θ0dθ∫ρ1ρ0f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ
三重积分:
三重积分的现实(物理)含义:体积 × 物理量 = 三重积分值;
举例说明:
- 二重积分计算立体体积,即:体积 × 1 = 立体体积
- 三重积分计算立体质量,即:体积 × 体密度 = 立体质量
三重积分的定义式:
∭Ωf(x,y,z)dv
其中
f(x,y,z)
叫做被积函数,
dv
叫做体积元素,
Ω
叫做积分区域
三重积分的表达形式:
1、直角坐标形式:
∭Ωf(x,y,z)dxdydz
其中
dxdydz
叫做直角坐标系的体积元素
2、柱面坐标系形式:
∭Ωf(ρcosθ,ρsinθ,z)ρdρdθdz
与定义式的关系为
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪x=ρcosθy=ρsinθz=zdv=ρdρdθdz
3、球面坐标系形式:
∭Ωf(rsinψcosθ,rsinψsinθ,rcosψ)r2sinψdrdψdθ
与定义式的关系为
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪x=rsinψcosθy=rsinψsinθz=rcosψdv=r2sinψdrdψdθ
其中
- r是图形到原点的距离
-
ψ
是图形与y轴的角度,原点为顶点
-
θ
是图形与x周的角度,原点为顶点
三重积分的计算法:
1、将三重积分转化为三次积分计算:
在直角坐标系下:
f(x,y,z)
中的z的取值范围可以被
x
、
y
表示为
[z0(x,y),z1(x,y)]
,在
x
、
y
平面上,
y
的取值范围可以被
x
表示为
[y0(x),y1(x)]
,
x
的取值范围可以表示为
[x0,x1]
,则有
∭Ωf(x,y,z)dv=∫x1x0dx∫y1(x)y0(x)dy∫z1(x,y)z0(x,y)f(x,y,z)dz
2、将三重积分转化为一个二重积分和一个单积分
在直角坐标系下:
f(x,y,z)
中的
z
的取值范围为
[z0,z1]
,
x
、
y
所组成的区域可以表示为区域
D
,则有:
∭Ωf(x,y,z)dv=∫z1z0dz∬f(x,y,z)dxdy