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一,二阶非齐次线性ODE的标准形式:
- 表示输入、驱动
- 表示输出、响应
二,通解:
- 叫补充解,是齐次方程的通解
- (作为的相伴方程)
- 是非齐次方程的特解
三,应用:
- 弹簧—质量—阻尼系统(第九讲)
- 如图
- 在系统中,对小车施加额外的一个力
- 标准形式:
- 被动系统:当时,系统没有外力干涉,只是被动地对初始条件进行响应
- 受迫系统:当时,系统一直有外力干涉,强迫它运动
- 电路(第八讲)
- 如图
- R表示电阻,C表示电容,q表示电荷,j表示电流,表示电动势
- 在电路中,串联额外的一个电感L
- 基尔霍夫定律:当环绕电路运行时,元件的电压降之和为0
- 数学模型:,
- 两边求导:
- 被动电路:当时,比如电动势是干电池,或者电路中没有电源,电路中的电荷会趋于静止
- 受迫电路:当时,比如电动势是交流电源,强迫电荷运动
四,证明通解:
- 将化为
- L表示二阶线性算子
- 证明1:是解
- 将代入原方程:
- ,
- 证明2:是所有的解
- 取任意一个方程的解
- 齐次方程的解:
- 和是所有常数中选出的特定值
五,区分稳态解和暂态解的条件:
- 一阶常系数非齐次线性ODE:,k为常数
- 通解:
- 当时,是齐次方程,是它的通解
- (是的相伴方程)
- 非齐次方程的特解
- 当时,为稳态解,为暂态解(见第三讲第七点)
- 当时,,无法区分
- 二阶常系数非齐次线性ODE:,A和B是常数
- 通解:
- 当所有特征根都具有负实部时,为稳态解,为暂态解,如下表:
-
特征根 相伴方程的通解 通解趋于0的条件 ,