第十讲 二阶齐次常系数线性ODE（续）

版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/qq_23940575/article/details/83214555

一，特征方程的解r是一对共轭复数：

• 
• 通解：
• 因为是实数解，是复数，要使方程两边相等，必须满足以下条件：
• ，

1. 证明：如果，那么为实数
2. 同理：如果，那么为实数

• 将代入通解：（工程上的用法）
• 变回最初的形式：

1. 
2. 
3. （利用逆向欧拉公式）
4. 
5. ，

二，逆向欧拉公式：

三，应用：弹簧—质量—阻尼系统

• 如图
• o点为平衡位置
• 标准形式：
• 设阻尼常数，弹性常数，表示弹簧振荡的圆频率，
• 原方程变为：
• 特征方程：
• 特征解：
• 当时，阻尼系数，没有阻尼：
• 原方程变为简谐振动方程：
• 
• 通解：
• 利用辅助角公式：
• 当时，必为复数，模型必产生振荡：
• 解图像：
• 伪周期，表示伪圆频率，因为振幅始终处于递减状态
• 
• 如果阻尼系数c变大，伪圆频率会如何变化？

1. 特征解：
2. 通解：
3. 利用辅助角公式：
4. ，p取决于阻尼系数c和质量m
5. 定理：（勾股定理），取决于阻尼系数c、弹性系数k和质量m
6. 如果阻尼系数c变大，p变大，伪圆频率变小
7. 幅值和相位滞后取决于初始条件