第八讲 一阶常系数线性ODE（续）

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一，用直角坐标法，去掉中虚数部分：

1. 
2. 
3. 去掉虚数部分：

二，将直角坐标法的解化成极坐标法的解（方便观察幅值和相位）： 

        利用三角恒等式：，，作图见视频9:00~10:00

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三，证明，： 

1. 向量法： 
2. 复数法：，方程两边去掉虚数即证。
3. 视频13:00~22:00

四，一阶线性ODE的应用：

• ，k>0，应用：浓度—扩散模型
• 如图
• 这是一个水池，内部体积是V，盐水从左端流入右端流出，r表示盐水流速。
• 问题：水池中的盐含量随时间变化的函数？
• 设水池中的盐含量为x，时间为t，盐含量是时间的函数x(t)
• 建立文字模型：盐含量随时间的变化率=盐的流入速度-盐的流出速度
• 盐含量随时间的变化率为
• 盐的流入速度=盐水流速r*盐水流入的浓度（设盐水流入的浓度为）
• 盐的流出速度=盐水流速r*盐水流出的浓度（盐水流出的浓度和水池浓度相同）
• 整理为数学模型：
• 化为一般形式：
• 方程左边单位是量，而右边单位是浓度
• 统一成浓度单位：设，则
• 原方程化为：
• 化为一般形式：，，k表示单位时间内流量占体积的比例，K的单位：时间的导数
• 用积分因子法求解即可
• 如果盐水流入的浓度是正弦函数时，水池里的浓度会多大程度随的变化而变化？
• 观察极坐标法的解可知：K越大（流速r越大或体积V越小），振幅越接近1，相位滞后越小

• ，k>0，应用：电路，放射性链衰变（略）
• 如图
• R表示电阻，C表示电容，q表示电荷，j表示电流，表示电动势
• 问题：回路中的电荷随时间变化的函数？
• 基尔霍夫定律：三个元件的电压降之和为0
• 建立数学模型：，
• 化为一般形式：

五，如果k<0，以下术语将变得不适用（方程可以照常解）：

暂态、稳态、输入—响应