ARC060 D Digit Sum 数

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题目链接

题意：
给你一个n一个s，问你是否存在一个进制使得n在x进制下的各个位之和是s。n,s<=1e11。

题解：
乍一看确实没什么好办法，只会暴力枚举进制判断。

这题其实并没有用到什么更高明的判断方法，但是优化了枚举。

这里用到了一种经常会见到但是又很巧妙的思想：对于小于等于 $\sqrt{n}$的和大于 $\sqrt{n}$的进行分类讨论。

对于小于等于 $\sqrt{n}$的情况，我们只需要暴力判断即可。我们考虑该进制大于 $\sqrt{n}$的情况，应该有 $a*x+b=n,a+b=s$，其中 $x$为进制。两式相减可以得到： $a*x=n-s$，由此可知， $x$是 $n-s$的因子，于是我们用 $\sqrt{n-s}$的时间对 $n-s$进行因数分解，对于每个因数进行暴力判断就可以了。如果没有解就输出-1。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long n,s;
inline long long f(long long b,long long n)
{
 if(n<b)
 return n;
 return f(b,n/b)+n%b;
}
int main()
{
 scanf("%lld%lld",&n,&s);
 if(s==n)
 {
  printf("%lld\n",n+1);
  return 0;
 }
 if(s>n)
 {
  printf("-1\n");
  return 0;
 }
 for(long long i=2;i<=sqrt(n)+1;++i)
 {
  if(f(i,n)==s)
  {
   printf("%lld\n",i);
   return 0;
  }
 }
 long long ji=n-s,ans=1e11;
 for(long long i=1;i*i<=ji;++i)
 {
  if(ji%i==0)
  {
   long long b=ji/i+1;
   if(f(b,n)==s)
   ans=min(ans,b);
  }
 }
 if(ans==1e11)
 printf("-1\n");
 else
 printf("%lld\n",ans);
 return 0;
}