问题 H: 吃西瓜
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题目描述
【问题描述】
老胡买了是长方体形的西瓜来犒劳大家....
这块西瓜长m厘米,宽n厘米,高h厘米.他发现如果把这块西瓜平均地分成m*n*h块1立方厘米的小正方体,那么每一小块都会有一个营养值(可能为负,因为西瓜是有可能坏掉的,但是绝对值不超过200)。
现在老胡决定从这m*n*h立方厘米的西瓜中切出mm*nn*hh(0<=mm<=m,0<=nn<=n,0<=hh<=h)立方厘米的一块小西瓜(一定是立方体形,长宽高均为整数),送给该场比赛最高分获得者补充营养。他想知道他最多能获得多少营养值。
换句话说,我们希望从一个m*n*h的三维矩阵中,找出一个三维子矩阵,这个子矩阵的权和最大.
一个2*3*4的例子,最优方案为切红色2*3*1部分。
【文件输入】matrix.in
首行三个正整数h,m,n(注意顺序),分别表示西瓜的高,长,宽.
以下h部分,每部分是一个m*n的矩阵,第i部分第j行的第k个数表示西瓜第i层,第j行第k列的那块1立方厘米的小正方体的营养值.
【文件输出】matrix.out
老胡所能得到的最大营养值
【输入输出样例】
| matrix.in |
matrix.out |
| 2 3 4 4 1 2 8 0 5 -48 4 3 0 1 9 2 1 4 9 1 0 1 7 3 1 2 8 |
45 |
【数据规模】
对于30%的数据,h=1,1<=m,n<=10
对于全部的数据,1<=h<=32,1<=m,n<=50,保证h<=m,n
[说明]此题中出现的所有数全为整数。
不清楚老师从哪里找的，但是是道好题。。。问了问学长终于构思出dp方案来了。。。
本题是从求最大矩阵权值和的基础上，发展成求最大立方体权值和。。。可以从二维推出三维
首先 我们看一下二维
只需要枚举矩阵的 左上角和右下角 假设 设左上为 a[ sx ] [ sy ]
右下为 a[ ex ] [ ey ]（当然构造一下前缀和。。更加优秀一些）
那么根据容斥定理
s[ ex ] [ ey ] = a[ ex ] [ ey ] - s[ sx-1 ] [ ey ] - s[ ex ] [ sy - 1 ] + s[ sx-1 ] [ sy -1]
那么拓展到三维空间啊，我们不久只需要 先对二维空间进行一下这种处理，然后再拓展到三维空间
即现在二维里找到一个最大矩阵，之后对空间内相邻的二维矩阵之和进行判断，看一下是否会比原来单独的更大，来更新一下数值，那么这样跑一下大概就可以了 首先求二维 耗时大概 O(n^2 * m^2)
再加上一个 高度 h 的话
耗时就是 O(n^2 * m^2 * h) 本题是可以过得。。。（当然 让 h 去变成 h^2 肯定对于本题更快）
以下就是 AC 代码了。
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int h,m,n;
int s[51][51][51],a[51][51][51];
int dp[51][51][51][51];
int ans;
int main()
{
scanf("%d%d%d",&h,&m,&n);
for (int i=1;i<=h;i++)
for (int j=1;j<=m;j++)
for (int k=1;k<=n;k++)
{
scanf("%d",&a[i][j][k]);
s[i][j][k] = s[i][j-1][k] + s[i][j][k-1] - s[i][j-1][k-1] + a[i][j][k];
}
ans = -INF;
for (int sj=1;sj<=m;sj++)
for (int sk=1;sk<=n;sk++)
for (int ej=sj;ej<=m;ej++)
for (int ek=sk;ek<=n;ek++)
{
dp[sj][sk][ej][ek] = -INF; // 构造维护一个矩阵最大权值和 dp
for (int i=1;i<=h;i++)
{
int tem = s[i][ej][ek] - s[i][sj-1][ek] - s[i][ej][sk-1] + s[i][sj-1][sk-1];
dp[sj][sk][ej][ek] = max(dp[sj][sk][ej][ek]+tem, tem);
ans = max(ans, dp[sj][sk][ej][ek]);
}
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
看懂了就不太难。。主要是只要明白了如何求最大二维矩阵，这道只要推广一下就好了